(11·佛山)閱讀材料

我們經(jīng)常通過認識一個事物的局部或其特殊類型,來逐步認識這個事物;

       比如我們通過學(xué)習(xí)兩類特殊的四邊形,即平行四邊形和梯形(繼續(xù)學(xué)習(xí)它們的特殊類型如矩形、等腰梯形等)來逐步認識四邊形;

       我們對課本里特殊四邊形的學(xué)習(xí),一般先學(xué)習(xí)圖形的定義,再探索發(fā)現(xiàn)其性質(zhì)和判定方法,然后通過解決簡單的問題鞏固所學(xué)知識;

請解決以下問題:

       如圖,我們把滿足AB=CD、CB=CD且AB≠BC的四邊形ABCD叫做“箏形”;

(1)寫出箏形的兩個性質(zhì)(定義除外);

(2)寫出箏形的兩個判定方法(定義除外),并選出一個進行證明;

 

【答案】

解:(1)

性質(zhì)1:只有一組對角相等(或者∠B=∠D,∠A≠∠C);   …………………………1分

性質(zhì)2:只有一條對角線平分對角;   ……………………………………………………2分

性質(zhì)有如下參考選項:

性質(zhì)3:兩條對角線互相垂直,其中只有一條被另一條平分;

性質(zhì)4:兩組對邊都不平行.

(2)判定方法1:只有一條對角線平分對角的四邊形是箏形;…………………………4分

判定方法2:兩條對角線互相垂直且只有一條被平分的四邊形是箏形;…………………6分

判定方法有如下參考選項:

判定方法3:AC⊥BD,∠B=∠D,∠A≠∠C;

判定方法4:AB=CD,∠B=∠D,∠A≠∠C;

判定方法5:AC⊥BD, AB=CD,∠A≠∠C.

判定方法1的證明:

已知:在四邊形ABCD中,對角線AC平分∠A和∠C,對角線BD不平分∠B和∠D.

求證:四邊形ABCD是箏形.

證明:∵∠BAC=∠DAC,∠BCA=∠DCA,AC=AC,∴△ABC≌△ADC.

∴AB=CD,CB=CD,①…………………………………………………………………8分

易知AC⊥BD.

又∵∠ABD≠∠CBD,

∴∠BAC≠∠BCA,∴AB≠BC.②……………………………………………………10分

由①、②知四邊形ABCD是箏形.……………………………………………………11分

判定方法2的證明:

AC⊥BD,(不妨)BE=DE→AB=CD,CB=CD.AE≠CE→AB≠BC.

判定方法3的證明:

若B、D不是關(guān)于AC對稱,則有∠ABD<∠ADB,∠CBD<∠CDB(或反之)→與∠B=∠D矛盾→B、D關(guān)于AC對稱→AB=CD,CB=CD.      ∠A≠∠CAE→∠BAC≠∠BCA→AB≠BC.

判定方法4的證明:

AB=CD→∠ABD=∠ADB(結(jié)合∠B=∠D)→∠CBD=∠CDB →CB=CD.

以下同判定方法3.

判定方法5的證明:對照3和4 的證明.

其他判定方法及證明參照給分.

【解析】略

 

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