Question

如圖(1)，Rt△ABC中，AC＝BC，M是AC中點(diǎn)，CF⊥MB交AB于E，求證：∠AME＝∠CMB．

Answer 1

答案：
解析：

證明：如圖(2)，作∠ACB的平分線CN交BM于點(diǎn)N． 　　∵∠MBC＜∠CBA＝ 　　而∠MCF＝∠MBC，∴∠MCF＜ 　　∴角平分線CN交BF于B點(diǎn)和F點(diǎn)之間，由∠ACB＝ 　　CF⊥BM，可知∠1＝∠2 　　∴在Rt△AEC與△CNB中 　　 　　∴△AEC≌△CNB(ASA) 　　∴CN＝AE 　　在△AME與△CMN中 　　∴△AME≌△CMN(SAS) 　　∴∠AME＝∠CMN 　　即∠AME＝∠CMB 　　解析：證法1：延長CE過A作AN∥CB，構(gòu)造直角三角形全等來證明，∠ANC＝∠CMB，再利用△ANE≌△AME來證明∠ANC＝∠AME，等量代換，即可證明結(jié)論． 　　證法一：過A作AN∥CB，交CE延長線于N 　　∴∠ACB＝，CF⊥BM，∴∠1＝∠2 　　Rt△ANC與Rt△CMB中 　　∴Rt△ANC≌Rt△CMB(AAS) 　　∴∠ANC＝∠CMB，AN＝CM 　　∴AN＝CM＝AM 　　又∵AN∥CB，∠4＝∠ABC＝ 　　∴∠4＝∠3＝ 　　∴在△AME和△ANE中 　　∴∠ANE＝∠AME，∴∠AME＝∠CMB 　　證法2：作直角∠ACB的平分線，利用等腰直角三角形的性質(zhì)來證明△AEC≌△CNB，繼而再證△AME≌△CMN