Question

【題目】已知：a、b、c滿足a=-b,|a+1|+（c-4）2=0，請(qǐng)回答問(wèn)題:

（1）請(qǐng)求出a、b、c的值；

（2）a、b、c所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A、B、C，P為數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的數(shù)為x，若點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，請(qǐng)化簡(jiǎn)式子：|x+1|-|1-x|+2|x-4|（請(qǐng)寫(xiě)出化簡(jiǎn)過(guò)程）；

（3）若點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，試探究當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，PC=3PB?

Answer 1

【答案】（1）a=-1, b=1,c=4；（2）-2x+10；（3）或秒

【解析】試題分析：

(1) 利用“若幾個(gè)非負(fù)數(shù)之和為零則每一個(gè)非負(fù)數(shù)均為零”這一結(jié)論，可以得到a與c的值. 利用已知條件容易得到b的值.

(2) 根據(jù)“點(diǎn)P在線段BC上”可以得到x的取值范圍. 根據(jù)x的取值范圍，可以依次確定待化簡(jiǎn)式子中絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的整式值的符號(hào)，再根據(jù)絕對(duì)值的代數(shù)意義去掉相應(yīng)的絕對(duì)值符號(hào)，然后合并同類項(xiàng)即可得出答案.

(3) 設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒. 分析題意可知，要想得到符合題意的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，就需要獲得線段PC與線段PB的長(zhǎng)關(guān)于運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的表達(dá)式. 對(duì)于線段PC的表達(dá)式，可以通過(guò)PC=AC-AP的關(guān)系得到. 線段AC的長(zhǎng)易知；由于點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿直線向右運(yùn)動(dòng)，所以線段AP的長(zhǎng)代表了點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程. 根據(jù)“路程等于速度乘以時(shí)間”這一等量關(guān)系，可以用t表示出線段AP的長(zhǎng). 對(duì)于線段PB的表達(dá)式，則需要按照點(diǎn)P與點(diǎn)B的相對(duì)位置進(jìn)行討論. 當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，可根據(jù)PB=AB-AP獲得線段PB的表達(dá)式；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，可根據(jù)PB=AP-AB獲得線段PB的表達(dá)式. 在獲得上述表達(dá)式后，利用等量關(guān)系PC=3PB列出方程求解時(shí)間t即可.

試題解析：

(1) 因?yàn)?/span>，所以a+1=0，c-4=0，即a=-1，c=4.

因?yàn)?/span>a=-b，a=-1，所以b=-a=-(-1)=1.

綜上所述，a=-1，b=1，c=4.

(2) 因?yàn)辄c(diǎn)P在線段BC上，b=1，c=4，所以.

因?yàn)?/span>，所以x+1>0， ， .

當(dāng)x+1>0時(shí)， ；

當(dāng)時(shí)， ；

當(dāng)時(shí)， .

因此，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上(即)時(shí)，

=

=

=.

(3) 設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

因?yàn)辄c(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，所以AP=2t.

因?yàn)辄c(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)為-1，點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)為4，所以AC=4-(-1)=5.

因?yàn)?/span>PC=3PB，所以PC>PB. 故點(diǎn)P不可能在點(diǎn)C的右側(cè).

因此，PC=AC-AP.

因?yàn)?/span>AP=2t，AC=5，所以PC=AC-AP=5-2t.

分析本小題的題意，點(diǎn)P與點(diǎn)B的位置關(guān)系沒(méi)有明確的限制，

故本小題應(yīng)該對(duì)以下兩種情況分別進(jìn)行求解.

①點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)，如下圖.

因?yàn)辄c(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)為-1，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)為1，所以AB=1-(-1)=2.

因?yàn)?/span>AP=2t，AB=2，所以PB=AB-AP=2-2t.

因?yàn)?/span>PC=3PB，PC=5-2t，PB=2-2t，所以5-2t=3(2-2t).

解這個(gè)關(guān)于t的一元一次方程，得 .

②點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)，如下圖.

因?yàn)?/span>AP=2t，AB=2，所以PB=AP-AB=2t-2.

因?yàn)?/span>PC=3PB，PC=5-2t，PB=2t-2，所以5-2t=3(2t-2).

解這個(gè)關(guān)于t的一元一次方程，得 .

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)或秒時(shí)，PC=3PB.