Question

矩形ABCD的四個頂點在正△EFG的邊上，已知△EFG的邊長為2，記矩形ABCD的面積為S，AB邊長為x，求S關于x的函數(shù)表達式和自變量的取值范圍．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質,等邊三角形的性質,矩形的性質

專題：

分析：由等邊三角形的性質可得∠G=60°，所以GB=ABtan60°=

3

x，同理CF=CDtan60°=

3

x，所以BC=GF-GB-CF=2-2

3

x，所以可表示出S，再由A點最多到E點，所以AB小于△EFG的高，可求得其取值范圍．

解答：解：因為△EFG為正三角形，
所以∠G=60°，
所以GB=ABtan60°=

3

x，同理CF=CDtan60°=

3

x，
所以BC=GF-GB-CF=2-2

3

x，
所以S=AB×BC=x（2-2

3

x）=2x-2

3

x²，
又因為0＜BC＜BF，
所以0＜2-2

3

x＜2，
可求得：0＜x＜

3

，
所以S關于x的函數(shù)表達式為：S=2x-2

3

x²，自變量的取值范圍：0＜x＜

3

．

點評：本題主要考查等邊三角形的性質，解題的關鍵是利用三角函數(shù)表示出BC的長度．