Question

已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BD=6，AC=BC=8．
（1）請(qǐng)判斷對(duì)角線AC與BD的位置關(guān)系，說明理由．
（2）求出梯形ABCD的高線DE的長．

Answer 1

解：（1）AC⊥BD．
理由：過D作DF∥AC交BC的延長線于F，
∵AD∥BC，
∴四邊形ACFD是平行四邊形，
∴CF=AD=2，DF=AC=8，
∴BF=BC+CF=8+2=10，
∵BD²+DF²=6²+8²=100，BF²=10²=100，
∴BD²+DF²=BF²，
∴△BFD是直角三角形，
又∵DF∥AC，
∴AC⊥BD．

（2）在△BFD中，2S_△BFD=BD•DF=BF•DE，
即6×8=10DE
解得：DE=．
分析：過D作DF∥AC交BC的延長線于F，所以四邊形ACFD是平行四邊形，CF=AD=2．
（1）在△BFD中，BD=6，BC=10，DF=AC=8，根據(jù)勾股定理逆定理△BFD是直角三角形，且∠BDF是直角，所以AC⊥BD；
（2）在△BFD中，2S_△BFD=BD•DF=BF•DE，代入數(shù)據(jù)即可求出DE的長．
點(diǎn)評(píng)：本題（1）中利用平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理逆定理求解，作對(duì)角線AC的平行線構(gòu)造平行四邊形是解題的關(guān)鍵；
（2）中運(yùn)用等面積法，這種方法在直角三角形中經(jīng)常運(yùn)用，同學(xué)們需要熟練掌握．