Question

如圖所示，A，E，F(xiàn)，C在一條直線上，AE=CF，過E，F(xiàn)分別作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD，可以得到BD平分EF，為什么？說明理由．

Answer 1

解：BD平分EF，理由是：
證法一、連接BE、DF．
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AFB=∠CED=90°，DE∥BF，
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
即AF=CE，
在Rt△ABF和Rt△CDE中
，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE，
∴DE=BF，
∵DE∥BF，
∴四邊形DEBF是平行四邊形，
∴BD平分EF；
證法二、∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AFB=∠CED=90°，DE∥BF，
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
即AF=CE，
在Rt△ABF和Rt△CDE中
，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE，
∴DE=BF，
∵在△BFG和△DEG中
，
∴△BFG≌△DEG（AAS），
∴EG=FG，
即BD平分EF．
分析：求出∠AFB=∠CED=90°，DE∥BF，推出AF=CE，連接BE、DF，根據(jù)HL證Rt△ABF≌Rt△CDE，推出DE=BF，得出平行四邊形DEBF，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)推出即可．
點評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，垂線，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點的運用，關(guān)鍵是得出平行四邊形DEBF，題目比較好，難度適中．