Question

【題目】如圖，二次函數(shù) y＝ax2﹣2ax+c(a＞0)的圖象與 x 軸的負(fù)半軸和正半軸分別交于 A、B 兩點(diǎn)，與 y 軸交于點(diǎn) C，它的頂點(diǎn)為 P，直線 CP 與過點(diǎn)B 且垂直于 x 軸的直線交于點(diǎn) D，且 CP：PD＝1：2，tan∠PDB＝．

(1)則 A、B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A( ， )； B( ， )；

(2)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

(3)在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)M 使|MC﹣MB|的值最大，則點(diǎn)M 的坐標(biāo)為 ．

Answer 1

【答案】（1）﹣1，0；3，0；（2）y=x2﹣x﹣；（3）（1，﹣）

【解析】

（1）先求得拋物線的對(duì)稱軸為x=1，然后利用平行線分線段成比例定理求得OE：EB的值，從而得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用拋物線的對(duì)稱性可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）過點(diǎn)C作CF⊥PE，垂足為F．先求得點(diǎn)C和點(diǎn)P的坐標(biāo)（用含字母的式子表示），然后可得到PF=a，然后利用銳角三角函數(shù)的定義可求得a的值，然后將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可求得c的值；

（3）根據(jù)三角形的任意兩邊之差小于第三邊判斷出點(diǎn)A、C、M在同一直線上時(shí)|MC-MB|最大，設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式，再根據(jù)點(diǎn)M在對(duì)稱軸上代入計(jì)算即可得解．

（1）如圖所示：

∵由題意可知：拋物線的對(duì)稱軸為x=1，

∴OE=1．

∵OC∥PE∥BD，CP：PD=1：2，

∴=．

∴BE=2．

∴OB=3．

∴B（3，0）．

∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于PE對(duì)稱，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0）．

故答案是：﹣1，0；3，0；

（2）過點(diǎn)C作CF⊥PE，垂足為F．

將x=0代入得：y=c，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，c）．

將x=1代入得y=﹣a+c．

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，﹣a+c）．

∴PF=a．

∵PE∥BD，tan∠PDB=，

∴tan∠CPF=tan∠PDB=．

∴．

解得a=．

將a=代入拋物線的解析式得：y=x2﹣x+c．

將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入得： ++c=0，解得：c=﹣．

∴拋物線的解析式為y=x2﹣x﹣．

（3）由三角形的三邊關(guān)系，|MC﹣MB|＜AC，

∴當(dāng)點(diǎn)A、C、M在同一直線上時(shí)|MC﹣MB|最大，

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，

則，

解得，

∴y=﹣x﹣，

∵拋物線對(duì)稱軸為直線x=1，

∴當(dāng)x=1時(shí)，y=﹣×1﹣=﹣，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，﹣）．

故答案是：（1，﹣ ）．