Question

如圖，直線OC，BC的函數(shù)關(guān)系式分別y₁=x和y₂=-x+6，動點(diǎn)P（x，0）在OB上運(yùn)動（0＜x＜6），過點(diǎn)P作直線m與x軸垂直．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)，并回答當(dāng)x取何值時y₁＞y₂？
（2）猜想△COB是什么三角形？并用所學(xué)的幾何知識證明你的結(jié)論．
（3）設(shè)在△COB中位于直線m左側(cè)部分的面積為S，求出S與x之間函數(shù)關(guān)系式？

Answer 1

分析：（1）由于C是直線OC、BC的交點(diǎn)，根據(jù)它們的解析式即可求出坐標(biāo)，然后根據(jù)圖象和交點(diǎn)坐標(biāo)可以求出當(dāng)x取何值時y₁＞y₂；
（2）由直線OC的解析式為：y₁=x，即可求得∠COB的度數(shù)，由BC的函數(shù)關(guān)系式為y₂=-x+6，即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)式，可求得OC與BC的長，則可證得△COB的形狀；
（3）此小題有兩種情況：①當(dāng)0＜x≤3，此時直線m左側(cè)部分是△PQO，由于P（x，0）在OB上運(yùn)動，所以PQ，OP都可以用x表示，所以s與x之間函數(shù)關(guān)系式即可求出；②當(dāng)3＜x＜6，此時直線m左側(cè)部分是四邊形OPQC，可以先求出右邊的△PQB的面積，然后即可求出左邊的面積，而△PQO的面積可以和①一樣的方法求出．

解答：解：（1）由題意得：

y=x y=-x+6

，
解得：

x=3 y=3

，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，3）；
當(dāng)x＞3時y₁＞y₂；

（2）△COB是等腰直角三角形．
證明：∵直線BC的解析式為：y₂=-x+6，
∴B（0，6），
∵直線OC的解析式為：y₁=x，
∴∠COB=45°，
∴OC=

32+32

=3

2

，BC=

(3-0)2+(3-6)2

=3

2

，
∴OC=BC，
∴∠OBC=∠COB=45°，
∴∠OCB=90°，
∴△COB是等腰直角三角形；

（3）如圖，過C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，
則D（3，0），
①當(dāng)0＜x≤3時，此時直線m左側(cè)部分是△PQO，
∵P（x，0），
∴OP=x，
而Q在直線y₁=x上，
∴PQ=x，
∴s=

1

2

x²（0＜x≤3）；
②當(dāng)3＜x＜6時，此時直線m左側(cè)部分是四邊形OPQC，
∵P（x，0），
∴OP=x，
∴PB=OB-OP=6-x，
而Q在直線y₂=-x+6上，
∴PQ=-x+6，
∴S=S_△BOC-S_△PBQ=

1

2

×CD×OB-

1

2

×BP×PQ=

1

2

×3×6-

1

2

×（6-x）×（-x+6）=-

1

2

x²+6x-9（3＜x＜6）．

點(diǎn)評：此題考查了一次函數(shù)的交點(diǎn)問題、等腰直角三角形的判定以及面積問題．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應(yīng)用．