Question

一開口向上的拋物線與x軸交于A（，0），B（m＋2，0）兩點，記拋物線頂點為C，且AC⊥BC．

（1）若m為常數，求拋物線的解析式；

（2）若m為小于0的常數，那么（1）中的拋物線經過怎么樣的平移可以使頂點在坐標原點？

（3）設拋物線交y軸正半軸于D點，問是否存在實數m，使得△BCD為等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

解：（1）設拋物線的解析式為： y＝a（x－m＋2）（x－m－2）＝a（x－m）²－4a．

∵AC⊥BC，由拋物線的對稱性可知：△ACB為等腰直角三角形，又AB＝4，

∴C（m，）代入得a＝．∴解析式為：y＝（x－m）²．

（亦可求C點，設頂點式）

（2）∵m為小于零的常數，∴只需將拋物線向右平移－m個單位，再向上平移2個單位，可以使拋物線y＝（x－m）²頂點在坐標原點．

（3）由（1）得D（0，m²），設存在實數m，使得△BOD為等腰三角形．

∵△BOD為直角三角形，∴只能OD＝OB．

∴m²－2＝|m＋2|，當m＋2＞0時，解得m＝4或m＝（舍）．

當m＋2＜0時，解得m＝0（舍）或m＝（舍）；

當m＋2＝0時，即m＝時，B．O．D三點重合（不合題意，舍）

綜上所述：存在實數m＝4，使得△BOD為等腰三角形．