Question

（2002•上海模擬）利用根與系數(shù)的關系求出二次項系數(shù)為1的一元二次方程，使它的兩根分別是方程x²-3x+1=0兩根的平方．

Answer 1

分析：由已知方程x²-3x+1=0，得到根的判別式大于0，可得出此方程有兩個不相等的實數(shù)根，設方程的解分別為x₁，x₂，利用根與系數(shù)的關系求出兩根之和與兩根之積，再利用完全平方公式求出兩根的平方和與平方積，寫出滿足題意的方程即可．

解答：解：方程x²-3x+1=0中，
∵a=1，b=-3，c=1，
∴△=9-4=5＞0，即方程有兩個不相等的實數(shù)根，
設方程兩根分別為x₁，x₂，
∴x₁+x₂=3，x₁x₂=1，
∴（x₁+x₂）²=x₁²+x₂²+2x₁x₂，即9=x₁²+x₂²+2，
∴x₁²+x₂²=7，又x₁²x₂²=（x₁x₂）²=1，且所求方程二次項系數(shù)為1，
則所求方程為x²-7x+1=0．

點評：此題考查了根與系數(shù)的關系，及根的判別式與方程解的情況，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），當b²-4ac＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當b²-4ac＜0時，方程無解；當b²-4ac=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根，且方程有解時，設方程的解分別為x₁，x₂，則有x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．