Question

在正2004邊形A₁A₂…A₂₀₀₄各頂點(diǎn)上隨意填上1，2，…501中的一個(gè)數(shù)．試證明：一定存在四個(gè)頂點(diǎn)滿足如下條件：
（1）這四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為矩形；
（2）此四邊形相對(duì)兩頂點(diǎn)所填數(shù)之和相等．

Answer 1

證明：（1）由題意知，頂點(diǎn)A₁與A_i=1002為一組關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，其中i=1，2，…1002．
則2004個(gè)頂點(diǎn)可分為1002組，
順次連接每?jī)山M的頂點(diǎn)，均可得到一個(gè)四邊形，
由于對(duì)角線互相平分且相等，
所以，得到的四邊形是矩形．

（2）由題意，設(shè)在頂點(diǎn)A₁上所填的數(shù)為a₁，則
2≤a₁+a_i=1002≤501×2，
即2到1002共有1001個(gè)不同的數(shù)，
又1002組有1002個(gè)數(shù)，由抽屜原則知，至少有兩組頂點(diǎn)所填數(shù)之和相等，
則此兩組頂點(diǎn)即為所求的四個(gè)頂點(diǎn)．
分析：要證明其為矩形，首先要了解矩形的性質(zhì)，然后再依據(jù)題中條件進(jìn)行證明，第二問(wèn)中在多邊形各頂點(diǎn)中，兩個(gè)頂點(diǎn)的和在一個(gè)大區(qū)間中，所以至少有兩組頂點(diǎn)所填數(shù)之和相等．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握矩形的性質(zhì)及判定，會(huì)證明四邊形為矩形，會(huì)進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題．