Question

如圖，四邊形ABCD為矩形，AB=4，AD=3，動點(diǎn)M從D點(diǎn)出發(fā)，以1個單位／秒的速度沿DA向終點(diǎn)A運(yùn)動，同時動點(diǎn)N從A點(diǎn)出發(fā)，以2個單位／秒的速度沿AB向終點(diǎn)B運(yùn)動．當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，運(yùn)動結(jié)束．過點(diǎn)N作NP⊥AB，交AC于點(diǎn)P₁連結(jié)MP．已知動點(diǎn)運(yùn)動了x秒．

    (1)請直接寫出PN的長；(用含x的代數(shù)式表示)

    (2)試求△MPA的面積S與時間x秒的函數(shù)關(guān)系式，寫出自變量x的取值范圍，并求出S的最大值；

    (3)在這個運(yùn)動過程中，△MPA能否為一個等腰三角形．若能，求出所有x的對應(yīng)值；若不能，請說明理由．

Answer 1

解：(1)PN=．

    (2)過點(diǎn)P作PQ⊥AD交AD于點(diǎn)Q．

    可知PQ=AN=2x．

    依題意，可得AM=3-x．

    ∴S=·AM·PQ=·(3-x)·2x=-x²+3x=-．

    自變量x的取值范圍是：0＜x≤2．

    ∴當(dāng)x=時，S有最大值，S_最大值=．

    (3)△MPA能成為等腰三角形，共有三種情況，以下分類說明：

    ①若PM=PA，

    ∵PQ⊥AD，∴MQ=QA=PN=．

    又DM+MQ+QA=AD  ∴4x=3，即x=．

    ②若MP=AM，

    MQ=AD-AQ-DM=3-，PQ=2x，MP=MA=3-x．

    在Rt△PMQ中，由勾股定理得：MP²=MQ²+PQ²．

∴(3-x)²=(3-)²+(2x)²．

    解得x=，x=0(不合題意，舍去)

    ③若AP=AM，

    由題意可求AP=，AM=3-x．

    ∴=3-x．解得x=．

    綜上所述，當(dāng)x=，或x=，或x=時，△MPA是等腰三角形．