Question

24、按下面規(guī)則擴充新數(shù)：已有兩數(shù)a、b，可按規(guī)則c=ab+a+b擴充一個新數(shù)，在a、b、c三個數(shù)中任取兩數(shù)，按規(guī)則又可擴充一個新數(shù)，…每擴充一個新數(shù)叫做一次操作．現(xiàn)有數(shù)1和4．
（1）求按上述規(guī)則操作三次得到擴充的最大新數(shù)；
（2）能否通過上述規(guī)則擴充得到新數(shù)1999，并說明理由．

Answer 1

分析：仔細閱讀擴充新數(shù)規(guī)則：已有兩數(shù)a、b，可按規(guī)則c=ab+a+b擴充一個新數(shù)，在a、b、c三個數(shù)中任取兩數(shù)，按規(guī)則又可擴充一個新數(shù)，…每擴充一個新數(shù)叫做一次操作．根據(jù)此規(guī)則運算即可．
（1）起始數(shù)是1和4
原數(shù)           產(chǎn)生新數(shù)            應取數(shù)
第一次擴充            1、4         1×4+1+4=9            4、9
第二次擴充            4、9         4×9+4+9=49           9、49
第三次擴充            9、49        9×49+9+49=499        49、499
（2）首先通過一般歸納得出，新數(shù)c用a、b表示的一般式子c+1=（a+1）^m•（b+1）^m+1．
進一步驗證新數(shù)1999能否表示成2^m×5^m+1的形式，其中m取自然數(shù)．

解答：解：（1）第一次只能得到1×4+1+4=9；因為要求最大新數(shù)，所以，第二次取4和9，得到4×9+4+9=49；同理，第三數(shù)取9和49，就得到擴充三次的最大數(shù)為499．
（2）因c=ab+a+b=（a+1）（b+1）-1，故c+1=（a+1）（b+1），
取數(shù)b、c可得新數(shù)d=（b+1）（c+1）-1=（b+1）（a+1）（b+1）-1=（a+1）（b+1）²-1，即d+1=（a+1）（b+1）²，
同理可得e=（c+1）（d+1）-1=（a+1）（b+1）（a+1）（b+1）²-1，e+1=（a+1）²（b+1）³
第四次擴充：49×499+49+499=24999＞1999，
即第三次得到的新數(shù)為499，第四次得到的新數(shù)為24999，
故1999不可以通過上述規(guī)則擴充得到．

點評：做好本類題目的關(guān)鍵是要根據(jù)表達式與文字規(guī)則，弄清給定數(shù)值字符間蘊含的加減乘除運算關(guān)系．如本題中的按照規(guī)則c=ab+a+b，在a、b、c三個數(shù)中任取兩數(shù)，按規(guī)則又可擴充一個新數(shù)，…每擴充一個新數(shù)叫做一次操作．