Question

【題目】(2016貴州省畢節(jié)市第26題)如圖，在△ABC中，D為AC上一點(diǎn)，且CD=CB,以BC為直徑作☉O,交BD于點(diǎn)E，連接CE,過D作DFAB于點(diǎn)F,∠BCD=2∠ABD.

(1)、求證：AB是☉O的切線；(2)、若∠A=60°，DF=,求☉O的直徑BC的長(zhǎng)。

Answer 1

【答案】(1)、證明過程見解析；(2)、4

【解析】

試題分析：(1)、根據(jù)CB=CD得出∠CBD=∠CDB，然后結(jié)合∠BCD=2∠ABD得出∠ABD=∠BCE，從而得出∠CBD+∠ABD=∠CBD+∠BCE=90°，然后得出切線；(2)、根據(jù)Rt△AFD和Rt△BFD的性質(zhì)得出AF和DF的長(zhǎng)度，然后根據(jù)△ADF和△ACB相似得出相似比，從而得出BC的長(zhǎng)度.

試題解析：(1)、∵CB=CD ∴∠CBD=∠CDB 又∵∠CEB=90° ∴∠CBD+∠BCE=∠CDE+∠DCE

∴∠BCE=∠DCE且∠BCD=2∠ABD ∴∠ABD=∠BCE ∴∠CBD+∠ABD=∠CBD+∠BCE=90°

∴CB⊥AB垂足為B 又∵CB為直徑 ∴AB是⊙O的切線.

(2)、∵∠A=60°，DF= ∴在Rt△AFD中得出AF=1 在Rt△BFD中得出DF=3

∵∠ADF=∠ACB ∠A=∠A ∴△ADF∽△ACB ∴ 即 解得：CB=4