Question

如圖所示，在平面直角坐標系中，拋物線的頂點M到x軸的距離是4，拋物線與x軸相交于O、P兩點，OP=4；
（1）請寫出P、M兩點坐標，并求出這條拋物線的解析式；
（2）設點A是拋物線上位于O、M之間的一個動點，過A作x軸的平行線，交拋物線于另一點D，作AB⊥x軸于B，DC⊥x軸于C．
①當BC=1時，求矩形ABCD的周長l；
②試問矩形ABCD的周長l是否存在最大值？如果存在，請求出這個最大值，并指出此時A點的坐標；如果不存在，請說明理由．
（3）連接OM、PM，則△PMO為等腰三角形，請判斷在拋物線上是否存在點Q（除點P外），使得△OMQ也是等腰三角形，簡要說明你的理由（不必求出點Q的坐標）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)OP的長度即可得到點P的坐標，再根據(jù)拋物線的對稱性可得點M的橫坐標，然后即可得到點M的坐標，設拋物線頂點式解析式是y=a（x-2）²-4，把點P的坐標代入解析式求出a的值，即可得解；
（2）①根據(jù)拋物線的對稱性求出OB的長度，即點A的橫坐標，然后代入拋物線解析式求出點A的縱坐標，從而得到AB的長度，再利用矩形的周長公式列式計算即可得解；
②設點A的坐標為（x，y），根據(jù)拋物線的解析式表示出AB的長，再根據(jù)矩形的周長公式列式得到l與x的關系式，然后利用二次函數(shù)的最值問題解答即可；
（3）從線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等和圓的半徑相等考慮解答．

解答：解：（1）∵OP=4，
∴

1

2

OP=

1

2

×4=2，
∴點P的坐標為（4，0），點M的坐標為（2，-4），
設拋物線的解析式是y=a（x-2）²-4，把P（4，0）代入得，
a（4-2）²-4=0，
解得a=1，
所以，拋物線的解析式是y=（x-2）²-4=x²-4x，
即y=x²-4x；

（2）①∵點B和點C關于拋物線的對稱軸直線x=2對稱，
∴OB=

4-1

2

=

3

2

，
把x=

3

2

代入y=x²-4x得，y=（

3

2

）²-4×

3

2

=-

15

4

，
∴點A的坐標為（

3

2

，-

15

4

），
∴AB=|-

15

4

|=

15

4

，
∴矩形ABCD的周長l=2（1+

15

4

）=

19

2

；

②設點A的坐標為（x，y），其中0＜x＜2，
則AD=BC=4-2x，AB=DC=|y|=|x²-4x|=4x-x²，
則矩形ABCD的周長l=2（AD+AB）=2（4-2x+4x-x²）=-2x²+4x+8=-2（x-1）²+10，
則當x=1時，l_最大值=10，
此時點A的坐標為（1，-3）；

（3）答：存在．
理由：作OM的中垂線一定能與拋物線相交，或以點O為圓心以OM為半徑畫弧能與拋物線相交，
交點即是所要找的Q點的位置．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了二次函數(shù)的對稱性，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，矩形的周長公式，二次函數(shù)的最值問題，以及等腰三角形的判定，綜合性較強，但難度不大，仔細分析便不難求解．