Question

如圖，點O為正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于點E，延長BC到點F，使FC=EC，連接DF交BE的延長線于點H，連接OH交DC于點G，連接HC．則以下四個結論中正確結論的個數為（ ）
①OH∥BF；②∠CHF=45°；③GH=BC；④FH²=HE•HB．

A．1個
B．2個
C．3個
D．4個

Answer 1

【答案】分析：易證Rt△BCE≌Rt△DCF，則∠CBE=∠CDF，利用三角形內角和定理可得到∠EHD=∠BCE=90°，而BE平分∠DBC，根據等腰三角形的性質得到BH平分DF，即HD=HF，易得OH為△DBF的中位線，根據三角形中位線的性質得OH∥BF，則①正確；CH點為Rt△DCF斜邊DF上的中線，得到HD=HF=HC，則∠CDH=∠DCH，可得到∠CHF=∠CDF+∠DCH=2×22.5°=45°，②正確；在Rt△DGH中，∠GDH=22.5°，tan∠GDH=tan22.5°=≠，易證得GH≠BC，則④不正確；易證△HEC∽△HCB，則HC：HB=HE：HC，即HC²=HE•HB，由HC=HF，即可得到④正確．
解答：解：∵四邊形ABCD為正方形，
∴CD=CB，
而FC=CE，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF，
∴∠CBE=∠CDF，
而∠BEC=∠DEH，
∴∠EHD=∠BCE=90°，即BH⊥DF，
∵BE平分∠DBC，
∴BH平分DF，即HD=HF，
而點O為正方形ABCD的中心，即OD=OB，
∴OH為△DBF的中位線，
∴OH∥BF，則①正確；
∵CH點為Rt△DCF斜邊DF上的中線，
∴HD=HF=HC，
∴∠CDH=∠DCH，
而∠CBE=∠CDF=∠DBC=22.5°，
∴∠CHF=∠CDF+∠DCH=2×22.5°=45°，則②正確；
∵GH∥CF，HD=HF，
∴DG=GC=DC=BC，
在Rt△DGH中，∠GDH=22.5°，
tan∠GDH=tan22.5°=≠，
∴GH≠DG，
∴GH≠BC，則③不正確；
∵∠ECH=∠CBH，∠CHE=CHB，
∴△HEC∽△HCB，
∴HC：HB=HE：HC，即HC²=HE•HB，
而HC=HF，
∴HF²=HC•HB，則④正確；
所以正確的結論有三個．
故選C．
點評：本題考查了三角形相似的判定與性質：有兩組角對應相等的三角形相似；相似三角形的對應邊的比相等．也考查了三角形全等的判定與性質、正方形的性質、直角三角形斜邊上的中線性質以及三角形中位線性質．