Question

如圖，二次函數(shù)y=-x²+px+q的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），頂點(diǎn)M在第一象限，∠ABC=30°．
（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)和二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）設(shè)直線y=

3

x-9與y軸的交點(diǎn)是D，在線段BC上任取一點(diǎn)E（不與B、C重合），經(jīng)過(guò)A、B、E三點(diǎn)的圓交直線BD于點(diǎn)F，
①試判斷△AEF的形狀，并說(shuō)明理由；
②設(shè)BF=m，m的取值范圍是多少？（直接寫(xiě)出，無(wú)需過(guò)程）．

Answer 1

分析：（1）利用圖象以及得出∠ABC=30°，得出B點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出二次函數(shù)解析式即可；
（2）①結(jié)合已知畫(huà)出圖象，進(jìn)而利用圓周角定理以及銳角三角函數(shù)知識(shí)求出即可；
②利用最短時(shí)AF⊥BF，以及最長(zhǎng)時(shí)BF為直徑，可據(jù)圖分析求出取值范圍即可．

解答：解：（1）∵圖象與y軸交于點(diǎn)C（0，3），
∴CO=3，即q=3，
∵∠ABC=30°，
∴tan30°=

CO

OB

，
∴BO=3

3

，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為：（3

3

，0）
代入解析式得：0=-27+3

3

p+3，
解得：p=

8

3

3

，
∴二次函數(shù)的關(guān)系式為：y=-x²+

8

3

3

x+3；
∴0=-x²+

8

3

3

x+3；
解得：x₁=3

3

，x₂=-

3

3

；
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為：（-

3

3

，0）；

（2）①△AEF是直角三角形，
理由：∵直線y=

3

x-9與y軸的交點(diǎn)是D，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，-9），
∵B點(diǎn)坐標(biāo)為：（3

3

，0），C（0，3），
∴∠ABC=30°，∠ABD=60°，
由圓周角定理可得出，∠AFE=∠ABC=30°，∠AEF=∠ABD=60°，
∴∠EAF=90°，
∴△AEF是直角三角形，
②∵最短時(shí)AF⊥BF，最長(zhǎng)時(shí)BF為直徑，
∴BF為直徑，則2AB=BF=

20

3

3

，
∵最短時(shí)AF⊥BF時(shí)，
∵AF⊥AE，BF⊥BC，
∴AE∥BF，AF∥BC，
∴AE=BF，E點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)，BF最短，AB為直徑，
∴∠ACO=30°，
∴AE=2AO，
∴BF=AE=2AO=

2

3

3

，
∴m的取值范圍是：

2 3

3

＜m＜

20

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及垂徑定理和圓周角定理，根據(jù)已知得出∠AFE=∠ABC=30°，∠AEF=∠ABD=60°是解題關(guān)鍵．