Question

如圖，在銳角△ABC中，∠A=60°，∠ACB=45°，以BC為弦作⊙O，交AC于點D，OD與BC交于點E，若AB與⊙O相切，則下列結論：
①=90°；②DO∥AB； ③CD=AD；④△BDE∽△BCD；⑤．
正確的有（ ）

A．2個
B．3個
C．4個
D．5個

Answer 1

【答案】分析：根據同弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半，由圓周角∠ACB等于45°得到圓心角∠BOD為90°，進而得到=90°，故選項①正確，又OD=OB，所以三角形BOD為等腰直角三角形，由∠A和∠ACB的度數(shù)，利用三角形的內角和定理求出∠ABC的度數(shù)為75°，由AB與圓切線，根據切線的性質得到∠OBA為直角，用∠ABO的度數(shù)減去∠ABC的度數(shù)求出∠CBO的度數(shù)，由根據∠BOE為直角，求出∠OEB為75°，根據內錯角相等，得到OD與AB平行，故選項②正確，又三角形OBD為等腰三角形，故∠ODB為45°，又∠ACB為45°，等量代換得到兩個角相等，又∠CBD為公共角，根據兩對對應角相等的兩三角形相似得到三角形BED與三角形BCD相似，由相似得比例，由BD為OD的倍，等量代換即可得到BE等于DE的倍，故選項⑤正確，而選項③不一定成立．
解答：解：∵圓心角∠BOD與圓周角∠ACB都對，且∠ACB=45°，
∴∠BOD=2∠ACB=90°，
∴=90°，故選項①正確；
∵∠A=60°，∠ACB=45°，
∴∠ABC=180°-60°-45°=75°，
又∵AB與⊙O相切，
∴OB⊥AB，即∠OBA=90°，
∴∠OBE=∠OBA-∠ABC=90°-75°=15°，又∠BOD=90°，
∴∠OEB=180°-∠BOD-∠OBE=180°-90°-15°=75°，
∴∠ABC=∠OEB，
∴DO∥AB，故選項②正確；
∵D不一定為AC中點，即CD不一定等于AD，
故選項③不一定成立；
∵OB=OD，∠BOD=90°，
∴∠ODB=∠OBD=45°，
∴∠ODB=∠ACB，
又∵∠DBE=∠CBD，
∴△BDE∽△BCD，故選項④正確；
連接OC，∵OD∥AB，
∴∠CDO=∠A=60°，又OC=OD，
∴△CDO為等邊三角形，
∴OC=OD=CD，
∵△BDE∽△BCD，
∴，
又∵OBD為等腰直角三角形，
∴BD=OD=CD，
∴EB=DE，即=，選項⑤正確，
綜上，正確的結論有4個．
故選C
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，圓周角定理，切線的性質，等腰直角三角形的性質以及等邊三角形的性質，熟練掌握性質與定理是解本題的關鍵．