Question

如圖1，四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個動點（點G與C、D不重合），以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，連接BG，DE．
（1）①猜想圖1中線段BG、線段DE的長度關系及所在直線的位置關系，不必證明；
②將圖1中的正方形CEFG繞著點C按順時針方向旋轉任意角度α，得到如圖2情形．請你通過觀察、測量等方法判斷①中得到的結論是否仍然成立，并證明你的判斷．

（2）將原題中正方形改為矩形（如圖3、4），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb （a≠b，k＞0），第（1）題①中得到的結論哪些成立，哪些不成立？若成立，以圖4為例簡要說明理由．

（3）在第（2）題圖4中，連接DG、BE，且a=3，b=2，k=

1

2

，求BE²+DG²的值．

Answer 1

分析：（1）①根據正方形的性質，顯然三角形BCG順時針旋轉90°即可得到三角形DCE，從而判斷兩條直線之間的關系；
②結合正方形的性質，根據SAS仍然能夠判定△BCG≌△DCE，從而證明結論；
（2）根據兩條對應邊的比相等，且夾角相等可以判定上述兩個三角形相似，從而可以得到（1）中的位置關系仍然成立；
（3）連接BE、DG．根據勾股定理即可把BE²+DG²轉換為兩個矩形的長、寬平方和．

解答：解：（1）①BG⊥DE，BG=DE；
②∵四邊形ABCD和四邊形CEFG是正方形，
∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCG=∠DCE，
∴△BCG≌△DCE，
∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，
又∵∠CBG+∠BHC=90°，
∴∠CDE+∠DHG=90°，
∴BG⊥DE．

（2）∵AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb，
∴

BC

DC

=

CG

CE

=

b

a

，
又∵∠BCG=∠DCE，
∴△BCG∽△DCE，
∴∠CBG=∠CDE，
又∵∠CBG+∠BHC=90°，
∴∠CDE+∠DHG=90°，
∴BG⊥DE．

（3）連接BE、DG．
根據題意，得AB=3，BC=2，CE=1.5，CG=1，
∵BG⊥DE，∠BCD=∠ECG=90°
∴BE²+DG²=BO²+OE²+DO²+OG²=BC²+CD²+CE²+CG²=9+4+2.25+1=16.25．

點評：此題綜合運用了全等三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質以及勾股定理．