(2010•泰興市模擬)如圖,在等腰梯形ABCD中,AB‖CD,已知AB=6,BC=2,∠DAB=45°,以AB所在直線為x軸,A為坐標原點,建立直角坐標系,將等腰梯形ABCD繞A點按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到等腰梯形OEFG(O、E、F、G分別是A、B、C、D旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點)(如圖).
(1)在直線DC上是否存在一點P,使△EFP為等腰三角形,若存在,寫出P點的坐標,若不存在,請說明理由;
(2)將等腰梯形ABCD沿x軸的正半軸平行移動,設(shè)移動后的OA=x(0<x≤6),等腰梯形ABCD與等腰梯形OEFG重疊部分的面積為y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

【答案】分析:(1)易得D(-2,2),△EFP為等腰三角形,應(yīng)分情況進行探討.EP=FP時,作出EF的垂直平分線,易得點P的坐標和D坐標重合為(-2,2),EP=EF時,與直線CD無交點,舍去這種情況,EF=FP時,可得P坐標為CD與y軸的交點為(0,2);
(2)易得F(2,4),G(2,2),作出等腰梯形的兩條高,得到等腰梯形是上底為2,高為2.當移動距離為0-2時,重合部分是三角形,底邊為x,高為0.5x,易得面積;移動距離為2-4時,重合部分是四邊形,可讓梯形面積減去直角三角形面積;移動距離為4-6時,重合部分是三角形,易求得高與底邊.
解答:解:(1)①EP=FP時,易求出D(-2,2),E(0,6),F(xiàn)(2,4),
由勾股定理得:DE2=(0+2)2+(6-2)2=20,DF2=(2+2)2+(4-2)2=20,
∴DE=DF,
即D在EF的垂直平分線上,
即作出EF的垂直平分線,易得點P的坐標和D坐標重合為(-2,2),
②EP=EF時,與直線CD無交點,舍去這種情況;
EF=FP時,可得P坐標為CD與y軸的交點為(0,2)
∴P(-2,2),P(0,2);(1分)

(2)①當0<x≤2時,重合部分是一小等腰直角三角形,底邊長為x,高為0.5x,
∴y=x2.(2分)
②當2≤x≤4時;重合部分是四邊形,所在的梯形的上底為x-2,下底為x,高為2,三角形的底邊為x,高為0.5x.
∴y=-x2+2x-2.(2分)
③當4≤x≤6時;重合部分是梯形.
∴y=-x2+4x-6.(2分)
點評:使△DFP為等腰三角形,應(yīng)利用尺規(guī)作圖得到相應(yīng)的在直線CD上的點;運動過程中的面積應(yīng)注意不同時期的不同狀態(tài),注意利用容易算出的面積表示.
練習(xí)冊系列答案
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(2)求二次函數(shù)的解析式;
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