Question

已知，如圖，平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，，對(duì)角線AC，BD交于O點(diǎn)，將直線AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，分別交BC，AD于點(diǎn)E，F(xiàn)．
（1）求證：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90°時(shí)，四邊形ABEF是平行四邊形；
（2）在旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形BEDF可能是菱形嗎？如果不能，請(qǐng)說明理由；如能，說明理由并求出此時(shí)AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)∠BAC=∠AOF=90°推出AB∥EF，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出AF∥BE，即可推出四邊形ABEF是平行四邊形；
（2）證△DFO≌△BEO，推出OF=OE，得出四邊形BEDF是平行四邊形，根據(jù)勾股定理求出AC，求出OA=AB=1，求出∠AOB=45°，根據(jù)∠AOF=45°，推出EF⊥BD，根據(jù)菱形的判定推出即可．
解答：（1）證明：∵∠AOF=90°，∠BAO=90°，
∴AB∥EF，
又∵平行四邊形ABCD，
∴AF∥EB，
∴四邊形ABEF是平行四邊形；

（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角∠AOF=45°時(shí)，四邊形BEDF是菱形，理由如下：
∵平行四邊形ABCD，
∴AD∥BC，BO=DO，
∴∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠BEO，
在△DFO和△BEO中
∵，
∴△DFO≌△BEO（AAS），
∴OF=OE，
∴四邊形BEDF是平行四邊形，
∵AB=1，BC=，
∴在Rt△BAC中，由勾股定理得：AC=2，
∴AO=1=AB，
∴∠AOB=45°，
又∵∠AOF=45°，
∴∠BOF=90°，
∴BD⊥EF，
∴四邊形BEDF是菱形，
即在旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形BEDF能是菱形，此時(shí)AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)是45°．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定．菱形的判定等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力，此題綜合性比較強(qiáng)，但是一道比較好的題目．