Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點A、C分別在y軸和x軸的正半軸，矩形OABC
的面積為36，以AO為直徑作⊙D，2OC=9AD
（1）求圓心D的坐標(biāo)；
（2）動點P從A出發(fā)沿線段AB以每秒1個單位的速度向終點B運動，過P作⊙D的切線交x軸于Q，切點為E，若OQ的長度為y，點P的運動時間為t，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)t為何值時△PDQ與以P、B、C為頂點的三角形相似？

Answer 1

分析：（1）設(shè)AD=r，表示出AO、OC，然后根據(jù)矩形的面積列式求解即可得到r，再寫出點D的坐標(biāo)即可；
（2）根據(jù)切線長定理可得∠APD=∠EPD，∠OQD=∠EQD，然后求出∠APD+∠OQD=90°，再求出∠APD+∠ADP=90°，從而得到∠ADP=∠OQD，然后求出△ADP和△OQD相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式計算即可得解，根據(jù)AB的長度寫出t的取值范圍；
（3）利用勾股定理列式求出DP、DQ，然后求出

DP

DQ

，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例分兩種情況列出比例式計算即可得解．

解答：解：（1）設(shè)AD=r，則AO=2r，
∵2OC=9AD，
∴OC=

9

2

r，
∴矩形OABC的面積=AO•OC=2r•

9

2

r=9r²=36，
解得r=2，
∴點D的坐標(biāo)為（0，2）；

（2）由切線長定理得，∠APD=∠EPD，∠OQD=∠EQD，
∵AB∥OC，
∴∠APD+∠EPD+∠OQD+∠EQD=180°，
∴∠APD+∠OQD=90°，
∵∠OAB=90°，
∴∠APD+∠ADP=90°，
∴∠ADP=∠OQD，
又∵∠OAB=∠AOC=90°，
∴△ADP∽△OQD，
∴

AP

OD

=

AD

OQ

，
即

t

2

=

2

y

，
∴y=

4

t

，
∵OC=

9

2

r=

9

2

×2=9，
∴0＜t＜9；

（3）由勾股定理得，DP=

AP2+AD2

=

t2+22

=

t2+4

，
DQ=

OQ2+OD2

=

( 4 t )2+22

=

16 t2 +4

，
∴

DP

DQ

=

t2+4

16 t2 +4

=

t

2

，
∵∠APD+∠OQD=90°，
∴∠PQD+∠QPD=90°，
∴∠PDQ=90°，
∵△PDQ與以P、B、C為頂點的三角形相似，
∴

DP

DQ

=

PB

BC

或

DP

DQ

=

BC

PB

，
即

t

2

=

9-t

4

或

t

2

=

4

9-t

，
整理得，2t=9-t或t²-9t+8=0，
解得t=3或t₁=1，t₂=8，
∵0＜t＜9，
∴t為1秒或3秒或8秒時，△PDQ與以P、B、C為頂點的三角形相似．

點評：本題是圓的綜合題型，主要利用了切線長定理，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，（2）求出兩三角形相似是解題的關(guān)鍵，（3）要注意分情況討論．