Question

如圖，已知拋物線的頂點坐標為M（1，4），且經過點N（2，3），與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C．
（1）求拋物線的解析式及點A、B、C的坐標；
（2）若直線y=kx+t經過C、M兩點，且與x軸交于點D，探索并判斷四邊形CDAN是怎樣的四邊形？并對你得到的結論予以證明；
（3）直線y=mx+2與拋物線交于T，Q兩點．是否存在這樣的實數m，使以線段TQ為直徑的圓恰好過坐標原點？若存在，請求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據頂點式設拋物線解析式為y=a（x-1）²+4，將N（2，3）代入求a，確定拋物線解析式，根據拋物線解析式求點A、B、C的坐標；
（2）根據M、C兩點坐標求直線y=kx+t解析式，得出D點坐標，求線段AD，由C、N兩點坐標可知CN∥x軸，再求CN，證明CN與AD平行且相等，判斷斷四邊形CDAN是平行四邊形；
（3）存在．如圖設T（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），分別過T、Q作TF⊥y軸，QG⊥x軸，聯立直線TQ解析式與拋物線解析式，可得x₁，y₁，x₂，y₂之間的關系，當以線段TQ為直徑的圓恰好過坐標原點時，∠TOQ=90°，利用互余關系可證△TOF∽△QOG，利用相似比得出線段關系，結合x₁，y₁，x₂，y₂之間的關系求m的值．

解答：解：（1）拋物線的頂點坐標為M（1，4），設拋物線解析式為y=a（x-1）²+4，
將N（2，3）代入，得a（2-1）²+4=3，解得a=-1，
所以，拋物線解析式為y=-（x-1）²+4，即y=-x²+2x+3，
令x=0，得y=3，則C（0，3），
令y=0，得x=-1或3，則A（-1，0），B（3，0）；

（2）四邊形CDAN是平行四邊形．
理由：將C（0，3），M（1，4），代入直線y=kx+t中，得

t=3 k+t =4

，
解得

k=1 t=3

，直線CM解析式為y=x+3，則D（-3，0），
∵C（0，3），N（2，3），∴CN∥x軸，且CN=2-0=2，
又∵A（-1，0），D（-3，0），∴AD=-1-（-3）=2，
∴四邊形CDAN是平行四邊形；

（3）存在．
如圖設T（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），分別過T、Q作TF⊥y軸，QG⊥x軸，
聯立

y=-x2+2x+3 y=mx+2

，解得x²+（m-2）x-1=0，
則x₁+x₂=2-m，x₁x₂=-1，
當以線段TQ為直徑的圓恰好過坐標原點時，∠TOQ=90°，
則∠TOF+∠FOQ=∠FOQ+∠QOB=90°，
則∠TOF=∠QOB，而∠TFO=∠QGO=90°，
所以，△TOF∽△QOG，

TF

QG

=

OF

OG

，即

-x1

y2

=

y1

x2

，
x₁x₂+y₁y₂=0，-1+（mx₁+2）（mx₂+2）=0，
-1+m²x₁x₂+2m（x₁+x₂）+4=0，
-1-m²+2m（2-m）+4=0，整理，得3m²-4m-3=0，
解得m=

2± 13

3

．

點評：本題考查了二次函數的綜合運用．根據利用拋物線的頂點式求拋物線解析式，利用解析式求拋物線與坐標軸的交點，根據平行四邊形的判定定理，判斷平行四邊形，利用互余關系證明相似三角形，利用相似三角形的性質求解．