Question

如圖，在等邊△ABC中，AB=AC=BC=10厘米，DC=4厘米．如果點(diǎn)M以3厘米/秒的速度運(yùn)動．
（1）如果點(diǎn)M在線段CB上由點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動，點(diǎn)N在線段BA上由B點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動．它們同時出發(fā)，若點(diǎn)N的運(yùn)動速度與點(diǎn)M的運(yùn)動速度相等．
①經(jīng)過2秒后，△BMN和△CDM是否全等？請說明理由．
②當(dāng)兩點(diǎn)的運(yùn)動時間為多少時，△BMN是一個直角三角形？
（2）若點(diǎn)N的運(yùn)動速度與點(diǎn)M的運(yùn)動速度不相等，點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)M以原來的運(yùn)動速度從點(diǎn)C同時出發(fā)，都順時針沿△ABC三邊運(yùn)動，經(jīng)過25秒點(diǎn)M與點(diǎn)N第一次相遇，則點(diǎn)N的運(yùn)動速度是

3.8或2.6

厘米/秒．（直接寫出答案）

Answer 1

分析：（1）①根據(jù)題意得CM=BN=6cm，所以BM=4cm=CD．根據(jù)“SAS”證明△BMN≌△CDM；
②設(shè)運(yùn)動時間為t秒，分別表示CM和BN．分兩種情況，運(yùn)用特殊三角形的性質(zhì)求解：I．∠NMB=90°；Ⅱ．∠BNM=90°；
（2）點(diǎn)M與點(diǎn)N第一次相遇，有兩種可能：I．點(diǎn)M運(yùn)動速度快；Ⅱ．點(diǎn)N運(yùn)動速度快．分別列方程求解．

解答：解：（1）①△BMN≌△CDM．理由如下：…（1分）
∵V_N=V_M=3厘米/秒，且t=2秒，
∴CM=2×3=6（cm）
BN=2×3=6（cm）
BM=BC-CM=10-6=4（cm）
∴BN=CM…（1分）
∵CD=4（cm）
∴BM=CD…（1分）
∵∠B=∠C=60°，
∴△BMN≌△CDM．（SAS） …（1分）
②設(shè)運(yùn)動時間為t秒，△BMN是直角三角形有兩種情況：
Ⅰ．當(dāng)∠NMB=90°時，
∵∠B=60°，
∴∠BNM=90°-∠B=90°-60°=30°．
∴BN=2BM，…（1分）
∴3t=2×（10-3t）
∴t=

20

9

（秒）；…（1分）
Ⅱ．當(dāng)∠BNM=90°時，
∵∠B=60°，
∴∠BMN=90°-∠B=90°-60°=30°．
∴BM=2BN，…（1分）．
∴10-3t=2×3t
∴t=

10

9

（秒）．…（1分）
∴當(dāng)t=

20

9

秒或t=

10

9

秒時，△BMN是直角三角形；

（2）分兩種情況討論：
I．若點(diǎn)M運(yùn)動速度快，則 3×25-10=25V_N，解得 V_N=2.6；
Ⅱ．若點(diǎn)N運(yùn)動速度快，則 25V_N-20=3×25，解得 V_N=3.8．
故答案是 3.8或2.6．…（2分）

點(diǎn)評：此題考查等邊三角形的性質(zhì)、特殊直角三角形的性質(zhì)及列方程求解動點(diǎn)問題，兩次運(yùn)用分類討論的思想，難度較大．