Question

如圖，在直角坐標系中，以（a，0）為圓心的O′與x軸交于C、D兩點，與y軸交于A、B兩點，連接AC．
（1）點E在AB上，EA=EC，求證：AC²=AE•AB；
（2）在（1）的結論下，延長EC到F，連接FB，若FB=FE，試判斷FB與⊙O′的位置關系，并說明理由；
（3）如果a=2，⊙O′的半徑為4，求（2）中直線FB的解析式．

Answer 1

分析：（1）欲證AC²=AE•AB，可以證明△ACE∽△ABC得出；
（2）判斷FB與⊙O′的位置關系，可以連接O′B，證明∠O′BF=90°，得出FB與⊙O′相切；
（3）確定B，F(xiàn)兩點的坐標，待定系數(shù)法求出直線FB的解析式．

解答：（1）證明：連接BC，∵EA=EC，
∴∠A=∠ACE，
∵AB⊥CD，
∴AC=BC，
∴∠A=∠ABC，
∴∠ACE=∠ABC，
∵∠A=∠A，
∴△ACE∽△ABC，
∴AC：AB=EC：AC，
∴AC²=AE•AB；

（2）解：連接O′B，BD，
∵FB=FE，
∴∠FBE=∠FEB，
∵∠ODB=∠ABC，
∵∠ODB=∠O′BD，
∴∠A=∠ABC，
∴∠BEF=∠A+∠ACE，
∴∠FBC=∠O′BD，
∵∠DBC=90°，
∴∠O′BF=90°，
∴FB與⊙O′相切；

（3）解：O′B=

16-4

=2

3

，B（0，-2

3

），
∵DC⊥AB，
∴O為AB的中點，
即AO=OB=2

3

，
∴EA=EC=OA-OE，
設OE的長為x，則EC=2

3

-x，
在Rt△OCE中4+x²=(2

3

-x)2，x=

2

3

3

，
過點F作FG⊥BE，
∵EB=OB+OE=2

3

+

2

3

3

=

8 3

3

，且FB=FE，
∴GB=

1

2

EB=

4 3

3

，∴OG=OB=GB=

2 3

3

，
∵OC∥FG，
∴

OC

FG

=

EO

EG

，即

2

FG

=

2 3 3

4 3 3

，
解得FG=4，
∴F（-4，-

2

3

3

），
直線PB的解析式為y=kx+b，將B（0，-2

3

），F(xiàn)（-4，-

2

3

3

）代入得y=-

3

3

x-2

3

．

點評：本題考查了相似三角形的性質(zhì)，切線的判定，及用待定系數(shù)法求出直線的解析式，計算量大，望仔細做題．