Question

設(shè)y=

ax+b

cx+d

，a、b、c、d都是有理數(shù)，x是無理數(shù)．求證：
（1）當(dāng)bc=ad時(shí)，y是有理數(shù)；
（2）當(dāng)bc≠ad時(shí)，y是無理數(shù)．設(shè)△ABC的三邊分別是a、b、c，且a²+c²+8b²-4ab-4bc=0，試求△ABC的形狀．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)y的表達(dá)式可得c、d不能同時(shí)為0，從而分三種情況討論，①若c=0，d≠0，②若d=0，c≠0，③若c≠0，d≠0，這樣根據(jù)bc=ad的條件，可將每種情況下y的值求出來，繼而可證得結(jié)論；
（2）運(yùn)用反證法，假設(shè)bc=ad時(shí)，y為有理數(shù)，則（cx+d）y=ax+b，即（cy-a）x+（dy-b）=0，這樣根據(jù)題意可判斷出cy-a=0，dy-b=0，進(jìn)而能得出bc≠ad的結(jié)論，得出矛盾．

解答：證明：（1）c、d不能同時(shí)為0，否則y無意義，
①若c=0，由bc=ad，d≠0，可得a=0，此時(shí)y=

b

d

；
②若d=0，則c≠0，由bc=ad，可得b=0，此時(shí)y=

ax

cx

=

a

c

為有理數(shù)，
③若c≠0，d≠0，由bc=ad得a=

bc

d

，代入y得，y=

b

d

為有理數(shù)．
綜上三種情況可得當(dāng)bc=ad時(shí)，y是有理數(shù)；

（2）①假設(shè)bc≠ad時(shí)，y為有理數(shù)，則（cx+d）y=ax+b，即（cy-a）x+（dy-b）=0，
因cy-a，dy-b為有理數(shù)，x為無理數(shù)，
故有cy-a=0，dy-b=0，
從而bc=cdy=（cy）d=ad，這與已知條件bc≠ad矛盾，從而y不是有理數(shù)，y一定是無理數(shù)．
②∵a²+c²+8b²-4ab-4bc=0，可得（a-2b）²+（c-2b）²=0，
從而可得a=2b=c，
故可判斷△ABC是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查有理數(shù)及無理數(shù)的概念及運(yùn)算，難度較大，證明本題需要我們熟練掌握有理數(shù)與無理數(shù)的運(yùn)算所得結(jié)果的特點(diǎn)，另外要求我們掌握分類討論思想在解題中的運(yùn)用．