Question

7．操作與證明：
如圖1，已知P是矩形ABCD的邊BC上的一個點（P與B、C兩點不重合），過點P作射線PE⊥AP，在射線PE上截取線段PF，使得PF=AP．
（1）過點F作FG⊥BC交射線BC點G．（尺規(guī)作圖，保留痕跡，不寫作法）
（2）求證：FG=BP．
探究與計算：
（3）如圖2，若AB=BC，連接CF，求∠FCG的度數(shù)；
（4）在（3）的條件下，當$\frac{BP}{BC}$=$\frac{3}{4}$時，求sin∠CFP的值．

Answer 1

分析 （1）利用作一個角等于已知角的方法，即可作出所求直線；
（2）易求得∠BAP=∠GPF，∠ABP=∠PGF=90°，又由AP=PF，即可證得△ABP≌△PGF，繼而證得結(jié)論；
（3）首先證得FG=CG，即可得△FCG是等腰直角三角形，繼而求得答案；
（4）首先作CH⊥PF于H，易證得△PHC∽△PGF，由相似三角形的對應邊成比例，可得$\frac{BP}{BC}=\frac{3}{4}$，然后設(shè)BP=3a，則PC=a，PG=4a，F(xiàn)G=CG=3a，分別求得FC，HC，繼而求得答案．

解答 （1）解：如圖1所示：

（2）證明：∵PE⊥AP，
∴∠APE=90°．
∴∠APB+∠GPF=90°，
又∵∠APB+∠BAP=90°，
∴∠BAP=∠GPF，
又∵FG⊥BC，
∴∠ABP=∠PGF=90°，
在△ABP與△PGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABP=∠PGF}\\{∠BAP=∠GPF}\\{AP=PF}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△PGF（AAS）．
∴FG=BP；

（3）解：由（2）知AB=PG，
∵AB=BC，
∴BC=PG．
∴BC-PC=PG-PC．
∴BP=CG，
又∵FG=BP，
∴FG=CG．
又∵∠CGF=90°，
∴∠FCG=45°；

（4）解：如圖2，作CH⊥PF于H，
∵∠HPC=∠GPF，∠CHP=∠FGP=90°，
∴△PHC∽△PGF．
∴$\frac{HC}{GF}=\frac{PC}{PF}$，
根據(jù)$\frac{BP}{BC}=\frac{3}{4}$，
設(shè)BP=3a，則PC=a，PG=4a，F(xiàn)G=CG=3a，
∴PF=$\sqrt{P{G}^{2}+F{G}^{2}}$=5a，CF=$\sqrt{C{G}^{2}+F{G}^{2}}$=3$\sqrt{2}$a，
∴$\frac{HC}{3a}=\frac{a}{5a}$．
∴HC=$\frac{3}{5}$a，
∴sin∠CFP=$\frac{HC}{CF}=\frac{\frac{3}{5}a}{3\sqrt{2}a}$=$\frac{\sqrt{2}}{10}$．

點評 此題屬于四邊形的綜合題，考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識．注意準確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．