Question

【題目】（感知）如圖①，正方形中，點(diǎn)在邊上，平分．若我們分別延長(zhǎng)與，交于點(diǎn)，則易證．（不需要證明）

（探究）如圖②，在矩形中，點(diǎn)在邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，平分．求證：．

（應(yīng)用）在（探究）的條件下，若，，直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】【感知】見(jiàn)解析；【探究】見(jiàn)解析；【應(yīng)用】

【解析】

感知：如圖①，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義可得出結(jié)論；

探究：如題②，作輔助線，證明△AED≌△GEC，得到AD=CG=BC，再由感知中得到AF=FG，可得出結(jié)論；

應(yīng)用：設(shè)FC=x，則AF=x+6，BF=6-x，由勾股定理列方程可得結(jié)論．

感知：

證明：如圖①

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD∥BC，

∴∠DAE=∠G，

∵AE平分∠DAF，

∴∠DAE=∠FAG，

∴∠FAG=∠G，

∴AF=FG．

探究：

解：如圖，分別延長(zhǎng)與，交于點(diǎn)．

∵點(diǎn)E是CD邊的中點(diǎn)，

∴DE=EC.

矩形，

，

，

又，

(ASA)，

，，

是的平分線，

，

．

即．

應(yīng)用：

解：如圖②，設(shè)FC=x，則AF=x+6，BF=6-x，

∵點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，DE=2，

∴DC=4，

在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF2=AB2+BF2，

（6+x）2=42+（6-x）2

解得：，

∴．