Question

如圖1所示，△ABC中，∠A=96°．
（1）BA₁平分∠ABC，CA₁平分∠ACD，請你求∠A₁的度數(shù)；
（2）BA₂平分∠A₁BC，CA₂平分∠A₁CD，請你求∠A₂的度數(shù)；
（3）依此類推，寫出∠A_n與∠A的關(guān)系式．
（4）如圖2，小明同學用下面的方法畫出了α角：作兩條互相垂直的直線MN、PQ，垂足為O，作∠PON的角平分線OE，點A、B分別是OE、PQ上任意一點，再作∠ABP的平分線BD，BD的反向延長線交∠OAB的平分線于點C，那么∠C就是所求的α角，則α的度數(shù)為

22.5°

．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和表示出∠ACD和∠A₁CD，再根據(jù)角平分線的定義可得∠ACD=2∠A₁CD，然后整理即可得解；
（2）與（1）同理列式整理即可得解；
（3）根據(jù)所求結(jié)果，后一個角是前一個角的

1

2

，然后寫出變化規(guī)律即可；
（4）先求出∠AOB=45°，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和表示出∠ABD和∠ABP，然后根據(jù)BD是∠ABP的平分線，列式整理即可得解．

解答：解：（1）∵BA₁平分∠ABC，CA₁平分∠ACD，
∴∠ABC=2∠A₁BC，∠ACD=2∠A₁CD，
在△ABC中，∠ACD=∠A+∠ABC，
在△A₁BC中，∠A₁CD=∠A₁+∠A₁BC，
∴∠A+∠ABC=2（∠A₁+∠A₁BC），
整理得，∠A=2∠A₁，
∵∠A=96°，
∴∠A₁=48°；

（2）同理可得∠A₁=2∠A₂，
所以，∠A₂=24°；

（3）觀察不難得出，后一個角是前一個角的

1

2

，
所以，∠A_n=

∠A

2n

；

（4）∵MN⊥PQ，OE平分∠PON，
∴∠AOB=45°，
∵BD平分∠ABP，AC平分∠OAB，
∴∠ABP=2∠ABD，∠OAB=2∠BAC，
在△ABC中，∠ABD=∠C+BAC，
在△OAB中，∠ABP=∠AOB+∠OAB，
∴∠AOB+∠OAB=2（∠C+BAC），
整理得，∠AOB=2∠C，
∴∠C=

1

2

×45°=22.5°，
即α=22.5°．

點評：本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的角平分線的定義，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并理清圖中角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．