Question

某商場(chǎng)在一樓至二樓間安裝了一部自動(dòng)扶梯，以勻速向上行駛．甲、乙兩同學(xué)同時(shí)從扶梯上勻速走到二樓，且甲每分鐘走動(dòng)的級(jí)數(shù)是乙的兩倍．已知甲走了24級(jí)到扶梯頂部，乙走了16級(jí)到扶梯頂部（甲、乙兩同學(xué)每次只跨一級(jí)臺(tái)階）．
（1）扶梯露在外面的部分有多少級(jí)？
（2）如果與扶梯并排有一從二樓到一樓的樓梯道，臺(tái)階數(shù)與扶梯級(jí)數(shù)相同，甲、乙各自到扶梯頂部后按原速再下樓梯到樓梯底部再乘扶梯，若樓梯與扶梯之間的距離忽略不計(jì)，問甲第1次追上乙時(shí)是在扶梯上還是在樓梯上？他已經(jīng)走動(dòng)的級(jí)數(shù)是多少級(jí)？

Answer 1

分析：（1）如果扶梯露在外面的部分有x級(jí)，乙每分鐘走動(dòng)的級(jí)數(shù)為a級(jí)，則甲每分鐘走動(dòng)的級(jí)數(shù)為2a級(jí)，扶梯每分鐘向上運(yùn)動(dòng)b級(jí)．題中有兩個(gè)等量關(guān)系，甲走24級(jí)的時(shí)間等于扶梯走（2a+b）級(jí)的時(shí)間；乙走16級(jí)的時(shí)間等于扶梯走（a+b）級(jí)的時(shí)間，據(jù)此列出方程組，求出x的值即可；
（2）如果設(shè)甲第一次追上乙時(shí)走過自動(dòng)扶梯m遍，走過樓梯n遍，那么乙走過自動(dòng)扶梯（m-1）遍、走過樓梯（n-1）遍．根據(jù)兩人所走的時(shí)間相等，列出方程．將（1）中求得的y與x的關(guān)系式y(tǒng)=2x代入，可得6n+m=16．由已知條件可知m、n中一定有一個(gè)是正整數(shù)，且0≤m-n≤1．通過試驗(yàn)可以求出m，n的具體值，進(jìn)而求出結(jié)果．

解答：解：（1）設(shè)扶梯露在外面的部分有x級(jí)，乙每分鐘走動(dòng)的級(jí)數(shù)為a級(jí)，則甲每分鐘走動(dòng)的級(jí)數(shù)為2a級(jí)，扶梯每分鐘向上運(yùn)動(dòng)b級(jí)．
由題意得：

24 2a = x 2a+b ① 16 a = x a+b ②

，
①÷②得：

3

4

=

a+b

2a+b

，
整理得：b=2a，
代入②得x=48．
答：扶梯露在外面的部分有48級(jí)；
（2）設(shè)追上乙時(shí)，甲扶梯走了m遍，樓梯走了n遍，則乙走扶梯（m-1）遍，走樓梯（n-1）遍．
由題意得：

48m

4a

+

48n

2a

=

48(m-1)

3a

+

48(n-1)

a

，
整理得：m+6n=16，
這里m，n中必有一個(gè)是整數(shù)，且0≤m-n≤1．
①若m為整數(shù)，則n=

16-m

6

，∴

m=1 n= 5 2

（不合，舍去），

m=2 n= 7 3

（不合，舍去）

m=3 n= 13 6

（符合條件）

m=4 n=2

（不合，舍去）

m=5 n= 11 6

（不合，以后均不合，舍去）
②若n為整數(shù)，m=16-6n，∴

n=1 m=10

，

n=2 m=4

，

n=3 m=-2

…，這些均不符合要求，∴

m=3 n= 13 6

，此時(shí)，甲在樓梯上．
他已走動(dòng)的級(jí)數(shù)是(

48m

4a

+

48n

2a

)×2a=24m+48n=72+104=176（級(jí)）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查分式方程在行程問題中的應(yīng)用，分析題意，找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．本題屬于競(jìng)賽題型，有一定難度．難點(diǎn)在于自動(dòng)扶梯在上升，具有一定的速度，同時(shí)甲、乙也在上樓梯，變化量較多．解題時(shí)要善于抓住不變量，只有不變量才是列方程的依據(jù)．另外，本題求解時(shí)設(shè)的未知數(shù)x、y，只設(shè)不求，這種方法在解復(fù)雜的應(yīng)用題時(shí)常用來幫助分析數(shù)量關(guān)系，便于解題．