Question

如圖，已知Rt△ABC，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以1cm/秒的速度沿AB向B點(diǎn)勻速運(yùn)動，點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā)，以x cm/秒的速度沿AC向C點(diǎn)勻速運(yùn)動，且P、Q兩點(diǎn)同時從A點(diǎn)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動時間為t 秒（），連接PQ．解答下列問題：
（1）當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動到AB的中點(diǎn)時，若恰好PQ∥BC，求此時x的值；
（2）求當(dāng)x為何值時，△ABC∽△APQ；
（3）當(dāng)△ABC∽△APQ時，將△APQ沿PQ翻折，A點(diǎn)落在A′，設(shè)△A′PQ與△ABC重疊部分的面積為S，寫出S關(guān)于t的函數(shù)解析式及定義域．

Answer 1

【答案】分析：（1）PQ∥BC，P是AB的中點(diǎn)，則Q一定是AC的中點(diǎn)，求得AQ的長，則速度x即可求得；
（2）△ABC∽△APQ，則一定有PQ∥BC，即與（1）相同，即可求得x的值；
（3）分0＜t≤4和4＜t＜8兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)0＜t≤4時重合部分就是△A′PQ；當(dāng)4＜t＜8時，重合部分是直角梯形，根據(jù)梯形的面積公式即可求解．
解答：解：（1）設(shè)AP=t  AQ=xt （0≤t≤8）∵AB=8  AP=AB=4  即t=4  
∵Rt△ABC，∠B=90°，AB=8 cm，BC=6 cm
∴AC=10 cm 
∵PQ∥BC
∴
即
解得：

（2）①若∠APQ=∠ABC，則BC∥PQ，此時與（1）相同，x=；
 若∠APQ=∠C，則=，即=，
解得；x=．
綜上可得當(dāng)x=或時，△ABC∽△APQ．

（3）∵BC∥PQ，
∴=，
∴PQ===t，
則當(dāng)0＜t≤4時，重疊部分的面積為S=S_△A′PQ=S_△APQ=AP•PQ=t•t=t²；
當(dāng)4＜t≤8時，如圖1所示，則A′P=AP=t，PQ=t，
∴BP=AB-AP=8-t，
則A′P=t-（8-t）=2t-8，
∵BD∥PQ，
∴=
∴BD==（t-4），
∴S=S_{四邊形BDQP}=（BD+PQ）•BP=[（t-4）+t]•（8-t）=（t-4）²．
 則函數(shù)解析式是：．
點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正確分情況討論，因求得x的值是關(guān)鍵．