Question

已知拋物線y=ax²+bx+6與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在原點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)B在原點(diǎn)的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且OB=

1

2

OC，tan∠ACO=

1

6

，頂點(diǎn)為D．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)．
（2）求直線CD與x軸的交點(diǎn)E的坐標(biāo)．
（3）在此拋物線上是否存在一點(diǎn)F，使得以點(diǎn)A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（4）若點(diǎn)M（2，y）是此拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)N是直線AM上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ABMN的面積S最大？請求出此時(shí)S的最大值和點(diǎn)N的坐標(biāo)．
（5）點(diǎn)P為此拋物線對稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，若以點(diǎn)P為圓心的圓與（4）中的直線AM及x軸同時(shí)相切，則此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為

（1，

5

-1）或（1，-

5

-1）

．

Answer 1

分析：（1）先令x=0求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再利用三角函數(shù)值求出求出OA的值，從而得到點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）求出OB的長度，得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，再求出頂點(diǎn)坐標(biāo)D，再用待定系數(shù)法求出直線CD的解析式，就可以求出直線CD與x軸的交點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)AE是以點(diǎn)A、C、F、E為頂點(diǎn)的平行四邊形的邊或?qū)�角線可以求出對應(yīng)F的坐標(biāo)有3個(gè)，將三個(gè)坐標(biāo)代入拋物線的解析式檢驗(yàn)就可以確定在拋物線上的點(diǎn)F；
（4）過點(diǎn)N作NQ∥x軸交AM于點(diǎn)Q，根據(jù)拋物線的解析式設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，并求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，然后求出直線AM的解析式，再根據(jù)解析式以及點(diǎn)N的坐標(biāo)設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，然后表示出ABMN的面積S，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題進(jìn)行解答即可；
（5）先求出直線AM與拋物線對稱軸的交點(diǎn)E的坐標(biāo)，利用勾股定理求出AE的長度，然后分①圓心在x軸上方②圓心在x軸的下方兩種情況，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例求出圓的半徑r，寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=6，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為C（0，6），
在Rt△AOC中，tan∠ACO=

1

6

，OC=6，
∴OA=1，
∴A（-1，0）；

（2）∵OB=

1

2

OC，
∴OB=3，
∴B（3，0），
由題意，得

a-b+6=0 9a+3b+6=0

，
解得

a=-2 b=4

，
∴y=-2x²+4x+6=-2（x-1）²+8，
∴D（1，8），
設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，
則

b=6 k+b=8

，
解得

k=2 b=6

，
∴直線CD的解析式為y=2x+6，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為E（-3，0）；

（3）假設(shè)存在以點(diǎn)A、C、F、E為頂點(diǎn)的平行四邊形，
當(dāng)AE為平行四邊形的邊時(shí)，F(xiàn)₁（2，6），F(xiàn)₂（-2，6），
當(dāng)AE為平行四邊形的對角線時(shí)，F(xiàn)₃（-4，-6），
經(jīng)驗(yàn)證，只有點(diǎn)（2，6）在拋物線y=-2x²+4x+6上，
∴F（2，6）；

（4）如圖，作NQ∥y軸交AM于點(diǎn)Q，
設(shè)N（m，-2m²+4m+6），
當(dāng)x=2時(shí)，y=6，
∴M（2，6），
設(shè)直線AM的解析式為y=kx+b，
則

-k+b=0 2k+b=6

，
解得

k=2 b=2

，
∴直線AM的解析式為y=2x+2，
∴Q（m，2m+2），
∴NQ=-2m²+4m+6-（2m+2）=-2m²+2m+4，
∵S_△ABM=

1

2

×4×6=12，
∴S=S_△ABM+S_△AMN=12+S_△ANQ+S_△MNQ，
=12+

1

2

×3×（-2m²+2m+4），
=-3m²+3m+18，
=-3（m-

1

2

）²+

75

4

，
∴當(dāng)m=

1

2

時(shí)，S的最大值為

75

4

，
當(dāng)m=

1

2

時(shí)，y=-2x²+4x+6=-2×

1

4

+4×

1

2

+6=

15

2

，
∴N（

1

2

，

15

2

）；

（5）設(shè)直線AM與對稱軸相交于點(diǎn)E，
則y=2×1+2=4，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)是（1，4），
∴AE=

22+42

=2

5

，
設(shè)圓的半徑為r，
①圓心在x軸上方時(shí)，

r

2

=

4-r

2 5

，
解得r=

5

-1，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，

5

-1），
②圓心在x軸的下方時(shí)，

r

2

=

4+r

2 5

，
解得r=

5

+1，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-

5

-1），
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，

5

-1）或（1，-

5

-1）．

點(diǎn)評：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的最值問題，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．