【題目】如圖1,直線l:y=x+m與x軸、y軸分別交于點A和點B(0,﹣1),拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點B,與直線l的另一個交點為C(4,n).
(1)求n的值和拋物線的解析式;
(2)點D在拋物線上,DE∥y軸交直線l于點E,點F在直線l上,且四邊形DFEG為矩形(如圖2),設點D的橫坐標為t(0<t<4),矩形DFEG的周長為p,求p與t的函數(shù)關系式以及p的最大值;
(3)將△AOB繞平面內某點M旋轉90°或180°,得到△A1O1B1,點A、O、B的對應點分別是點A1、O1、B1.若△A1O1B1的兩個頂點恰好落在拋物線上,那么我們就稱這樣的點為“落點”,請直接寫出“落點”的個數(shù)和旋轉180°時點A1的橫坐標.
【答案】(1)拋物線的解析式為y=x2﹣x﹣1;(2)p=﹣(t﹣2)2+,當t=2時,p有最大值.(3)“落點”的個數(shù)有4個,點A1坐標為(,0)或().
【解析】
試題分析:(1)把點B的坐標代入直線解析式求出m的值,再把點C的坐標代入直線求解即可得到n的值,然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答;(2)令y=0求出點A的坐標,從而得到OA、OB的長度,利用勾股定理列式求出AB的長,然后根據(jù)兩直線平行,內錯角相等可得∠ABO=∠DEF,再解直角三角形用DE表示出EF、DF,根據(jù)矩形的周長公式表示出p,利用直線和拋物線的解析式表示DE的長,整理即可得到P與t的關系式,再利用二次函數(shù)的最值問題解答;(3)根據(jù)逆時針旋轉角為90°可得A1O1∥y軸時,B1O1∥x軸,旋轉角是180°判斷出A1O1在x軸上,B1O1∥y軸,根據(jù)B1縱坐標為1,求出B1橫坐標即可解決問題.
試題解析:(1)∵直線l:y=x+m經(jīng)過點B(0,﹣1),
∴m=﹣1,
∴直線l的解析式為y=x﹣1,
∵直線l:y=x﹣1經(jīng)過點C(4,n),
∴n=×4﹣1=2,
∵拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點C(4,2)和點B(0,﹣1),
∴,
解得,
∴拋物線的解析式為y=x2﹣x﹣1;
(2)令y=0,則x﹣1=0,
解得x=,
∴點A的坐標為(,0),
∴OA=,
在Rt△OAB中,OB=1,
∴AB==,
∵DE∥y軸,
∴∠ABO=∠DEF,
在矩形DFEG中,EF=DEcosDEF=DE=DE,
DF=DEsin∠DEF=DE=DE,
∴p=2(DF+EF)=2(+)DE=DE,
∵點D的橫坐標為t(0<t<4),
∴D(t, t2﹣t﹣1),E(t, t﹣1),
∴DE=(t﹣1)﹣(t2﹣t﹣1)=﹣t2+2t,
∴p=×(﹣t2+2t)=﹣t2+t,
∵p=﹣(t﹣2)2+,且﹣<0,
∴當t=2時,p有最大值.
(3)“落點”的個數(shù)有4個,如圖1,圖2,圖3,圖4所示.
如圖3,圖4中,B1O1=BO=1,則x2﹣﹣1=1,解得x=,
∵A1O1=,
∴圖3中,OA1=OO1+A1O1═,圖4中OA1═OO1+O1A1=
∴點A1坐標為(,0)或().
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在ΔABC中,∠C=90°,∠B=30°,以點A為圓心,任意長為半徑畫弧分別交AB、AC于點M、N.再分別以點M、N為圓心,大于MN的長為半徑畫弧,兩弧交于P點,連接AP并延長交BC于點D,則下列說法中:①AD是∠BAC的平分線;②∠ADC=60°;③點D與AB中點的連線垂直平分AB;④SΔDAC:SΔABC=1:3;正確的是( )
A.①③B.②④C.①②③D.①②③④
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【題目】閱讀下列材料,解答問題
(2x﹣5)2+(3x+7)2=(5x+2)2
解:設m=2x﹣5,n=3x+7,則m+n=5x+2
則原方程可化為m2+n2=(m+n)2
所以mn=0,即(2x﹣5)(3x+7)=0
解之得,x1=,x2=﹣
請利用上述方法解方程(4x﹣5)2+(3x﹣2)2=(x﹣3)2
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【題目】“校園安全”受到全社會的廣泛關注,東營市某中學對部分學生就校園安全知識的了解程度,采用隨機抽樣調查的方式,并根據(jù)收集到的信息進行統(tǒng)計,繪制了下面兩幅尚不完整的統(tǒng)計圖.請你根據(jù)統(tǒng)計圖中所提供的信息解答下列問題:
(1)接受問卷調查的學生共有_______人,扇形統(tǒng)計圖中“基本了解”部分所對應扇形的圓心角為_______°;
(2)請補全條形統(tǒng)計圖;
(3)若該中學共有學生900人,請根據(jù)上述調查結果,估計該中學學生中對校園安全知識達到“了解”和“基本了解”程度的總人數(shù);
(4)若從對校園安全知識達到“了解”程度的3個女生和2個男生中隨機抽取2人參加校園安全知識競賽,請用樹狀圖或列表法求出恰好抽到1個男生和1個女生的概率.
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【題目】A、B兩輛汽車同時從相距330千米的甲、乙兩地相向而行,s(千米)表示汽車與甲地的距離,t(分)表示汽車行駛的時間,如圖,L1,L2分別表示兩輛汽車的s與t的關系.
(1)L1表示哪輛汽車到甲地的距離與行駛時間的關系?
(2)汽車B的速度是多少?
(3)求L1,L2分別表示的兩輛汽車的s與t的關系式.
(4)2小時后,兩車相距多少千米?
(5)行駛多長時間后,A、B兩車相遇?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC=4,∠BAC=120°,M是BC的中點,點E是AB邊上的動點,點F是線段BM上的動點,則ME+EF的最小值等于___.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,CD平分∠ACB.
(1)尺規(guī)作圖:作線段AB的垂直平分線l;
(要求:保留作圖痕跡,不寫作法)
(2)記直線l與AB,CD的交點分別是點E,F.當AC=4時,求EF的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,一個四邊形紙片ABCD,∠B=∠D=90°,把紙片按如圖所示折疊,使點B落在AD邊上的B'點,AE是折痕。
(1)試判斷B'E與DC的位置關系并說明理由。
(2)如果∠C=130°,求∠AEB的度數(shù)。
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某學校為了增強學生體質,決定開設以下體育課外活動項目:A:籃球 B:乒乓球C:羽毛球 D:足球,為了解學生最喜歡哪一種活動項目,隨機抽取了部分學生進行調查,并將調查結果繪制成了兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請回答下列問題:
(1)這次被調查的學生共有 人;
(2)請你將條形統(tǒng)計圖(2)補充完整;
(3)在平時的乒乓球項目訓練中,甲、乙、丙、丁四人表現(xiàn)優(yōu)秀,現(xiàn)決定從這四名同學中任選兩名參加乒乓球比賽,求恰好選中甲、乙兩位同學的概率(用樹狀圖或列表法解答)
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