Question

如圖，已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經過點A（3，3）．
（1）求正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；
（2）把直線OA向下平移后與反比例函數(shù)的圖象交于點B（6，m），求m的值和這個一次函數(shù)的解析式；
（3）第（2）問中的一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于C、D，求過A、B、D三點的三角形的面積．
（4）在第（3）問的條件下，二次函數(shù)的圖象上是否存在點E，使四邊形OECD的面積S₁與四邊形OABD的面積S滿足：S₁=

2

3

S？若存在，求點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)直線平移的方法即可求解；
（3）作AM⊥y軸于點M，作BN⊥y軸于點N，根據(jù)S_{四邊形ABDM}=S_梯形ABNM+S_△BDN，S_△ABD=S_{四邊形ABDM}-S_△ADM即可求解；
（4）首先求得D的坐標，然后利用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)的解析式，根據(jù)S₁=S_△OCD+S_△OCE即可求得S₁的值，進而求得S₂，根據(jù)E（x₀，y₀）在二次函數(shù)的圖象上，即可求得x₀的值，進而求得E的坐標．

解答：解：（1）設正比例函數(shù)的解析式是y=kx，代入（3，3），得：3k=3，解得：k=1，
則正比例函數(shù)的解析式是：y=x；
設反比例函數(shù)的解析式是y=

k1

x

，把（3，3）代入解析式得：k₁=9，
則反比例函數(shù)的解析式是：y=

9

x

；

（2）m=

9

6

=

3

2

，則點B的坐標是（6，

3

2

），
∵y=k₃x+b的圖象是由y=x平移得到，
∴k₃=1，即y=x+b，
一次函數(shù)的解析式是：y=x-

9

2

；

（3）∵y=x-

9

2

的圖象交y軸于點D，
∴D的坐標是（0，-

9

2

），
作AM⊥y軸于點M，作BN⊥y軸于點N．
∵A的坐標是（3，3），B的坐標是（6，

3

2

），
∴M的坐標是（0，3），N的坐標是（0，

3

2

）．
∴OM=3，ON=

3

2

．
則MD=3+

9

2

=

15

2

，DN=

3

2

+

9

2

=6，MN=3-

3

2

=

3

2

．
則S_△ADM=

1

2

×3×

15

2

=

45

4

，S_△BDN=

1

2

×6×6=18，S_梯形ABNM=

1

2

（3+6）×

3

2

=

27

4

．
則S_{四邊形ABDM}=S_梯形ABNM+S_△BDN=

27

4

+18=

99

4

，
S_△ABD=S_{四邊形ABDM}-S_△ADM=

99

4

-

45

4

=

54

4

=

27

2

；

（4）設二次函數(shù)的解析式是y=ax²+bx-

9

2

，
則

9a+3b- 9 2 =3 36a+6b- 9 2 = 3 2

，
解得：

a=- 1 2 b=4

，
則這個二次函數(shù)的解析式是：y=-

1

2

x²+4x-

9

2

；
點C的坐標是（

9

2

，0）．
則S=

15

2

×6-

1

2

×6×6-

1

2

×3×3=45-18-

9

4

-

9

2

=

81

4

．
假設存在點E（x₀，y₀），使S₁=

2

3

S=

81

4

×

2

3

=

27

2

．
∵四邊形CDOE的頂點E只能在x軸的上方，
∴y₀＞0，
∴S₁=S_△OCD+S_△OCE=

1

2

×

9

2

×

9

2

+

9

2

y₀
=

81

8

+

9

4

y₀，
∴

81

8

+

9

4

y₀=

27

2

，
∴y₀=

3

2

，
∵E（x₀，y₀）在二次函數(shù)的圖象上，
∴-

1

2

x₀²+4x₀-

9

2

=

3

2

，
解得：x₀=2或6．
當x₀=6時，點E（6，

3

2

）與點B重合，這時CDOE不是四邊形，故x₀=6，（舍去）．
∴E的坐標是（2，

3

2

）．

點評：本題是一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的綜合應用，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是基本方法，根據(jù)四邊形CDOE的面積求得E的縱坐標是解決本題的關鍵．