Question

（2010•江西）課題：兩個(gè)重疊的正多形，其中的一個(gè)繞某一頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所形成的有關(guān)問題．
實(shí)驗(yàn)與論證：
設(shè)旋轉(zhuǎn)角∠A₁AB₁=α（α＜∠A₁AA₂），θ₃、θ₄、θ₅、θ₆所表示的角如圖所示．

（1）用含α的式子表示解的度數(shù)：θ₃=______，θ₄=______，θ₅=______；
（2）圖1-圖4中，連接AH時(shí)，在不添加其他輔助線的情況下，是否存在與直線AH垂直且被它平分的線段？若存在，請(qǐng)選擇其中的一個(gè)圖給出證明；若不存在，請(qǐng)說明理由；
歸納與猜想：
設(shè)正n邊形AA₁A₂…A_n-1與正n邊形AB₁B₂…B_n-1重合（其中，A₁與B₁重合），現(xiàn)將正邊形AB₁B₂…B_n-1繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜°）；
（3）設(shè)θ_n與上述“θ₃、θ₄、…”的意義一樣，請(qǐng)直接寫出θ_n的度數(shù)；
（4）試猜想在正n邊形的情形下，是否存在與直線AH垂直且被它平分的線段？若存在，請(qǐng)將這條線段用相應(yīng)的頂點(diǎn)字母表示出來（不要求證明）；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由正三角形的性質(zhì)得α+θ₃=60°，再由正方形的性質(zhì)得θ₄=45°-（45°-α）=α，最后由正五邊形的性質(zhì)得θ5=108°-36°-36°-α=36°-α；
（2）存在，如在圖1中直線AH垂直且平分的線段A₂B₁，△AA₁A₂≌△AB₁B₂，推得A₂H=B₁H，則點(diǎn)H在線段A₂B₁的垂直平分線上；由AA₂=AB₁，則點(diǎn)A0在線段A₂B₁的垂直平分線上，從而得出直線AH垂直且平分的線段A₂B₁
（3）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，θ_n=-α；
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，θ_n=α
（4）多寫幾個(gè)總結(jié)規(guī)律：
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，直線AH垂直平分，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，直線AH垂直平分
解答：解：（1）60°-α，α，36°-α

（2）存在．下面就所選圖形的不同分別給出證明：
選圖如，圖中有直線AH垂直平分A₂B₁，證明如下：
方法一：
證明：∵△AA₁A₂與△AB₁B₂是全等的等邊三角形
∴AA₂=AB₁
∴∠AA₂B₁=∠AB₁A₂
又∠AA₂H=∠AB₁H=60°
∴∠HA₂B₁=∠HB₁A₂
∴A₂H=B₁H，∴點(diǎn)H在線段A₂B₁的垂直平分線上
又∵AA₂=AB₁，∴點(diǎn)A0在線段A₂B₁的垂直平分線上
∴直線AH垂直平分A₂B₁
方法二：
證明：∵△AA₁A₂與△AB₁B₂是全等的等邊三角形
∴AA₂=AB₂
∴∠AA₂B₁=∠AB₁A₂
又∠AA₂H=∠AB₁H=60°
∴∠HA₂B₁=∠HB₁A₂
∴A₂H=B₁H，
在△AA₂H與△AB₁H中
∵AA₂=AB₁，
HA₂=HB₁，∠A0A₂H=∠AB₁H
∴△AA₂H≌△AB₁H
∴∠AA₂H=∠B₁A₂H
∴AH是等腰三角形AA₂B₁的角平分線，
∴直線AH垂直平分A₂B₁選圖如，圖中有直線AH垂直平分A₂B₂，證明如下：
∵AB₂=AA₂∴∠AB₂A₂=∠AA₂B₂
又∵∠AB₂B₁=∠AA₂A₃
∴∠HB₂A₂=∠HA₂B₂
∴HB₂=HA₂
∴點(diǎn)H在線段A₂B₂的垂直平分線上
又∵AB₂=AA₂，∴點(diǎn)A在線段A₂B₂的垂直平分線上
∴直線AH垂直平分A₂B₂

（3）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，θ_n=-α；
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，θ_n=α．

（4）存在．
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，直線AH垂直平分，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，直線AH垂直平分
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)等幾何知識(shí)．線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．