Question

 如圖，AD是圓O的切線，切點為A，AB是

圓O的弦。過點B作BC//AD，交圓O于點C，連接AC，過

點C作CD//AB，交AD于點D。連接AO并延長交BC

于點M，交過點C的直線于點P，且ÐBCP=ÐACD。

   (1) 判斷直線PC與圓O的位置關系，并說明理由：

   (2) 若AB=9，BC=6，求PC的長。

 

  

Answer 1

解析：  (1) 直線PC與圓O相切。

           如圖j，連接CO并延長，交圓O于點N，連接BN。

           ∵AB//CD，∴ÐBAC=ÐACD。

           ∵ÐBAC=ÐBNC，∴ÐBNC=ÐACD。

           ∵ÐBCP=ÐACD，∴ÐBNC=ÐBCP。

           ∵CN是圓O的直徑，∴ÐCBN=90°。

           ∴ÐBNC+ÐBCN=90°，∴ÐBCP+ÐBCN=90°。

           ∴ÐPCO=90°，即PC^OC。

           又點C在圓O上，∴直線PC與圓O相切。

               

(2) ∵AD是圓O的切線，∴AD^OA，即ÐOAD=90°。

           ∵BC//AD，∴ÐOMC=180°-ÐOAD=90°，即OM^BC。

           ∴MC=MB�！�AB=AC。

           在Rt△AMC中，ÐAMC=90°，AC=AB=9，MC= BC=3，

           由勾股定理，得AM===6。

           設圓O的半徑為r。

           在Rt△OMC中，ÐOMC=90°，OM=AM-AO=6-r，MC=3，OC=r，

           由勾股定理，得OM ²+MC ²=OC ²，即(6-r)²+3²=r²。解得r= 。

           在△OMC和△OCP中，

           ∵ÐOMC=ÐOCP，ÐMOC=ÐCOP，

           ∴△OMC～△OCP。∴ = ，即 = 。

           ∴PC= 。