Question

【題目】如圖1，在Rt△ABC中，AC=8cm，BC=6cm，D、E分別為邊AB、BC的中點(diǎn)，連結(jié)DE，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AD﹣DE運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)E停止，點(diǎn)P在AD上以5cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，在DE上以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AC于點(diǎn)Q，以PQ為邊作正方形PQMN．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．

（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段DE上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DP的長(zhǎng)為_____cm．（用含t的代數(shù)式表示）

（2）當(dāng)正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形為五邊形時(shí)，設(shè)五邊形的面積為S（cm2），求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出t的取值范圍．

（3）如圖2，若點(diǎn)O在線段BC上，且CO=1，以點(diǎn)O為圓心，1cm長(zhǎng)為半徑作圓，當(dāng)點(diǎn)P開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)，⊙O的半徑以0.2cm/s的速度開(kāi)始不斷增大，當(dāng)⊙O與正方形PQMN的邊所在直線相切時(shí)，求此時(shí)的t值．

Answer 1

【答案】（1）t﹣1；（2）S=﹣t2+3t+3（1＜t＜4）；（3）t=s．

【解析】分析：（1）根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)D為AB中點(diǎn)，求出AD，根據(jù)點(diǎn)P在AD上的速度，即可求出點(diǎn)P在AD段的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，再求出點(diǎn)P在DP段的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，最后根據(jù)DE段運(yùn)動(dòng)速度為1cm/s，即可求出DP；

（2）由正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形為五邊形，可知點(diǎn)P在DE上，求出DP=t﹣1，PQ=3，根據(jù)MN∥BC，求出FN的長(zhǎng)，從而得到FM的長(zhǎng)，再根據(jù)S=S梯形FMHD+S矩形DHQP，列出S與t的函數(shù)關(guān)系式即可；

（3）當(dāng)圓與邊PQ相切時(shí)，可求得r=PE=5﹣t，然后由r以0.2cm/s的速度不斷增大，r=1+0.2t，然后列方程求解即可；當(dāng)圓與MN相切時(shí)，r=CM=8﹣t=1+0.2t，從而可求得t的值．

詳解：（1）由勾股定理可知：AB==10．

∵D、E分別為AB和BC的中點(diǎn)，

∴DE=AC=4，AD=AB=5，

∴點(diǎn)P在AD上的運(yùn)動(dòng)時(shí)間==1s，當(dāng)點(diǎn)P在線段DE上運(yùn)動(dòng)時(shí)，DP段的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（t﹣1）s．

∵DE段運(yùn)動(dòng)速度為1cm/s，∴DP=（t﹣1）cm．

故答案為：t﹣1．

（2）當(dāng)正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形為五邊形時(shí)，有一種情況，如下圖所示．

當(dāng)正方形的邊長(zhǎng)大于DP時(shí)，重疊部分為五邊形，

∴3＞t﹣1，t＜4，DP＞0，∴t﹣1＞0，

解得：t＞1，∴1＜t＜4．

∵△DFN∽△ABC，∴===．

∵DN=PN﹣PD，∴DN=3﹣（t﹣1）=4﹣t，

∴=，∴FN=，

∴FM=3﹣=，

S=S梯形FMHD+S矩形DHQP，

∴S=×（+3）×（4﹣t）+3（t﹣1）=﹣t2+3t+3（1＜t＜4）．

（3）①當(dāng)圓與邊PQ相切時(shí)，如圖：

當(dāng)圓與PQ相切時(shí)，r=PE，由（1）可知，PD=（t﹣1）cm，

∴PE=DE﹣DP=4﹣（t﹣1）=（5﹣t）cm．

∵r以0.2cm/s的速度不斷增大，∴r=1+0.2t，

∴1+0.2t=5﹣t，解得：t=s．

②當(dāng)圓與MN相切時(shí)，r=CM．

由（1）可知，DP=（t﹣1）cm，則PE=CQ=（5﹣t）cm，MQ=3cm，

∴MC=MQ+CQ=5﹣t+3=（8﹣t）cm，

∴1+0.2t=8﹣t，解得：t=s．

∵P到E點(diǎn)停止，∴t﹣1≤4，即t≤5，∴t=s（舍）．

綜上所述：當(dāng)t=s時(shí)，⊙O與正方形PQMN的邊所在直線相切．