Question

（2012•白下區(qū)二模）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AD=3cm，DC=15cm，BC=24cm．點P從A點出發(fā)，沿A→D→C方向以1cm/s的速度勻速運動，同時點Q從C點出發(fā)，沿C→B方向以2cm/s的速度勻速運動．當其中一點到達終點時，另一點也隨之停止運動．
（1）連接AP、AQ、PQ，設△APQ的面積為S（cm²），點P運動的時間為t（s），求S與t的函數關系式；
（2）當t為何值時，△APQ的面積最大，最大值是多少？
（3）△APQ能成為直角三角形嗎？如果能，直接寫出t的值；如果不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）分點P在線段AD上和點P在線段CD上兩種情況列出關系式即可；
（2）根據得到的拋物線的開口向上，對稱軸的右側s隨t的增大而增大可以得到最大值；
（3）分點P在線段AD上和點P在線段DC上利用相似三角形的對應邊的比相等即可列出方程求得t值．

解答：解：（1）當點P在線段AD上時，
∵AP=tcm，AP邊上的高為DC的長，為15cm，
∴S=

1

2

AP•DC=

1

2

×t×15=

15t

2

（0≤t≤3）；
當點P在線段CD上時，如圖1，
PD=（t-3）cm，DC=15-（t-3）=（18-t）cm，CQ=2tcm，
∴S=S_梯形ADCQ-S_△ADP-S_△PQC=

1

2

[（AD+CQ）•DC-AD•DP-PC•CQ]
=

1

2

[（3+2t）×15-3×（t-3）-（18-t）×2t]
=t²-

9

2

t+27（3≤t≤12）

（2）∵S=t²-

9

2

t+27的圖象開口向上，對稱軸為t=

9

4

，
∴當

9

4

＜t≤12時s隨t的增大而增加，
∴當t=12時取得最大值，
最大值為：s=12²-

9

2

×12+27=117cm²

（3）當點p在AD上QP⊥AD時，如圖2，作AE⊥BC于E點，則AP=tcm，CQ=2tcm，
EQ=3-2t，
此時AP=EQ，即t=3-2t，
解得t=1；
當點P在線段DC上時，如圖3，
若∠APQ=90°，
∴∠APD+∠QPC=90°
∴∠APD=∠PQC
∴△APD∽△PQC
∴

AD

PC

=

DP

CQ

即：

3

18-t

=

t-3

2t

解得：t=9或t=6；
∴當t=1或t=9時△APQ能成為直角三角形．
若∠PAQ=90°，如圖4：

此時PC=CD-PD=15-（t-3）=18-t，CQ=2t，
則AQ²=（2t-3）²+15²，AP²=3²+（t-3）²，PQ²=（2t）²+（18-t）²，
利用勾股定理可得：AQ²+AP²=PQ²，
即（2t-3）²+15²+3²+（t-3）²=（2t）²+（18-t）²，
解得：t=4；
綜上可得當t=1、4、6、9時△APQ是直角三角形．

點評：本題考查了相似形的綜合知識，題目中用二次函數知識解決幾何圖形中面積最大問題和動點問題是中考的熱點考題，需重點掌握．