Question

（2013•白云區(qū)一模）如圖，已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，連結(jié)AC并延長至D，使CD=AC，連結(jié)BD，作CE⊥BD，垂足為E．
（1）線段AB與DB的大小關(guān)系為

AB=DB

，請證明你的結(jié)論；
（2）判斷CE與⊙O的位置關(guān)系，并證明；
（3）當(dāng)△CED與四邊形ACEB的面積之比是1：7時，試判斷△ABD的形狀，并證明．

Answer 1

分析：（1）首先連接BC，由AB是⊙O的直徑，可得∠ACB=90°，又由AC=CD，利用三線合一的知識，即可判定AB=DB；
（2）首先連接OC，由點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)C為AD的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，可證得OC∥BD，又由CE⊥BD，即可證得CE⊥OC，即得CE與⊙O的切線；
（3）易證得△CED∽△BCD，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例證得：CD=

1

2

BD，可求得∠CBD=30°，即可得∠D=60°，則可證得△ABD是等邊三角形．

解答：解：（1）線段AB=DB．
證明如下：
連結(jié)BC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
即BC⊥AD．
又∵AC=CD，
∴BC垂直平分線段AD，
∴AB=DB；

（2）CE是⊙O的切線．
證明如下：
連結(jié)OC，
∵點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)C為AD的中點(diǎn)，
∴OC為△ABD的中位線，
∴OC∥BD．
又∵CE⊥BD，
∴CE⊥OC，
∴CE是⊙O的切線；

（3）△ABD為等邊三角形．
證明如下：
由

S四邊形ACEB

S△CED

=

7

1

，
得

S四邊形ACEB+S△CED

S△CED

=

7+1

1

，
∴

S△ABD

S△CED

=

8

1

，
即

S△CED

S△ABD

=

1

8

，
∴

S△CED

2S△BCD

=

1

8

，

S△CED

S△BCD

=

1

4

，
∵∠D=∠D，∠CED=∠BCD=90°，
∴△CED∽△BCD，
∴(

CD

BD

)2=

S△CED

S△BCD

，即(

CD

BD

)2=

1

4

，
∴

CD

BD

=

1

2

，
在Rt△BCD中，
∵CD=

1

2

BD，
∴∠CBD=30°，
∴∠D=60°，
又∵AB=DB，
∴△ABD為等邊三角形．

點(diǎn)評：此題考查了切線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．