分析 (1)結論:△ABC是直角三角形.由△AOC∽△COB,推出∠ACO=∠OBC,由∠OBC+∠OCB=90°,推出∠ACO+∠BCO=90°,推出∠ACB=90°.(也可以求出AC、BC、AB利用勾股定理的逆定理證明).
(2)如圖1中,設第四象限拋物線上一點N(m,√33m2-83m-√3),點N關于x軸的對稱點P(m,-√33m2+83m+√3),作過B、C分別作y軸,x軸的平行線交于點G,連接PG.
可得S△PBC=S△PCG+S△PBG-S△BCG=12×3√3×(-√33m2+83m+2√3)+12×√3•(3√3-m)-12×3√3×√3=-32(m-7√36)2+1218.由此可得△PBC面積最大時的點P的坐標,如圖2中,作ME⊥CG于M.由△CEM∽△BOC,OC:OB:BC=1:3:√10,推出EM:CE:CM=1:3:√10,推出EM=√1010CM,所以PM+√1010CM=PM+ME,所以根據(jù)垂線段最短可知,當PE⊥CG時,PM+ME最短,由此即可解決問題.
(3)分三種情形討論①如圖3中,當DH=HF,HQ平分∠DHF時,以點F、H、D、Q為頂點的四邊形是軸對稱圖形,且過點Q的對角線所在的直線 是對稱軸.②如圖4中,當DH=HF,HQ平分∠DHF時,以點F、H、D、Q為頂點的四邊形是軸對稱圖形,且過點Q的對角線所在的直線 是對稱軸.③如圖5中,當DH=DF,DQ平分∠HDF時,以點F、H、D、Q為頂點的四邊形是軸對稱圖形,且過點Q的對角線所在的直線 是對稱軸.分別列出方程求解即可.
解答 解:(1)結論:△ABC是直角三角形.理由如下,
對于拋物線 y=√33x2-83x-√3,令y=0得 √33x2-83x-√3=0,解得x=-√33或3√3;令x=0得y=-√3,
∴A(-√33,0),C(0,-√3),B(3√3,0),
∴OA=√33,OC=√3,OB=3√3,
∴AOOC=OCOB=13,∵∠AOC=∠BOC,
∴△AOC∽△COB,
∴∠ACO=∠OBC,
∵∠OBC+∠OCB=90°,
∴∠ACO+∠BCO=90°,
∴∠ACB=90°.
(也可以求出AC、BC、AB利用勾股定理的逆定理證明).
(2)如圖1中,設第四象限拋物線上一點N(m,√33m2-83m-√3),點N關于x軸的對稱點P(m,-√33m2+83m+√3),作過B、C分別作y軸,x軸的平行線交于點G,連接PG.
∵G(3√3,-√3),
∴S△PBC=S△PCG+S△PBG-S△BCG=12×3√3×(-√33m2+83m+2√3)+12×√3•(3√3-m)-12×3√3×√3=-32(m-7√36)2+1218.
∵-32<0,
∴當m=7√36時,△PBC的面積最大,
此時P(7√36,11√34),
如圖2中,作ME⊥CG于M.
∵CG∥OB,
∴∠OBC=∠ECM,∵∠BOC=∠CEM,
∴△CEM∽△BOC,
∵OC:OB:BC=1:3:√10,
∴EM:CE:CM=1:3:√10,
∴EM=√1010CM,
∴PM+√1010CM=PM+ME,
∴根據(jù)垂線段最短可知,當PE⊥CG時,PM+ME最短,
∴PM+√1010MC的最小值為11√34+√3=15√34.
(3)存在.理由如下,
①如圖3中,當DH=HF,HQ平分∠DHF時,以點F、H、D、Q為頂點的四邊形是軸對稱圖形,且過點Q的對角線所在的直線 是對稱軸.
作CG⊥HK于G,PH∥x軸,EP⊥PH于P.
∵FH∥CK,K(43√3,-259√3),
易知CG:GK:CK=3:4:5,
由△EPH∽△KGC,得PH:PE:EH=3:4:5,設E((n,√33n2-83n-√3),則HE=53(n-43√3),PE=43(n-43√3),
∵DH=HF,
∴√3+[-√33n2+83n+√3-43(n-43√3)]=53(n-43√3)+53√3,
解得n=−√3+√4716或−√3−√4716(舍棄).
②如圖4中,當DH=HF,HQ平分∠DHF時,以點F、H、D、Q為頂點的四邊形是軸對稱圖形,且過點Q的對角線所在的直線 是對稱軸.
同法可得[√33n2-83n-√3+43(n-43√3)]-√3=53(n-43√3)+53√3,
解得n=3√32+√5916或3√32-√5916(舍棄).
③如圖5中,當DH=DF,DQ平分∠HDF時,以點F、H、D、Q為頂點的四邊形是軸對稱圖形,且過點Q的對角線所在的直線 是對稱軸.
設DQ交HF于M.由△DHM∽△CKG,可知HM:DH=4:5,
12[53(n-43√3)+53√3]:[√33n2-83n-√3+43(n-43√3)-√3]=4:5,
解得n=19√316+√3345948或=19√316-√3345948(舍棄),
綜上所,滿足條件的點E的橫坐標為−√3+√4716或3√32+√5916或19√316+√3345948.
點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、相似三角形的判定和性質、勾股定理、垂線段最短等知識,解題的關鍵是靈活運用所學知識,學會構建二次函數(shù)解決最值問題,學會利用垂線段最短解決最值問題,學會用分類討論的思想思考問題,屬于中考壓軸題.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題
x | … | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | … |
y | … | 4.5 | 3.5 | 2.5 | 1.5 | 0.5 | … |
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