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10.如圖1,在平面直角坐標系中,拋物線 y=33x2-83x-3與x軸交于A、B、兩點(點A在點B的左側),與y軸交于點C.
(1)判斷△ABC形狀,并說明理由.
(2)在拋物線第四象限上有一點,它關于x軸的對稱點記為點P,點M是直線BC上的一動點,當△PBC的面積最大時,求PM+1010MC的最小值;
(3)如圖2,點K為拋物線的頂點,點D在拋物線對稱軸上且縱坐標為3,對稱軸右側的拋物線上有一動點E,過點E作EH∥CK,交對稱軸于點H,延長HE至點F,使得EF=533,在平面內(nèi)找一點Q,使得以點F、H、D、Q為頂點的四邊形是軸對稱圖形,且過點Q的對角線所在的直線 是對稱軸,請問是否存在這樣的點Q,若存在請直接寫出點E的橫坐標,若不存在,請說明理由.

分析 (1)結論:△ABC是直角三角形.由△AOC∽△COB,推出∠ACO=∠OBC,由∠OBC+∠OCB=90°,推出∠ACO+∠BCO=90°,推出∠ACB=90°.(也可以求出AC、BC、AB利用勾股定理的逆定理證明).
(2)如圖1中,設第四象限拋物線上一點N(m,33m2-83m-3),點N關于x軸的對稱點P(m,-33m2+83m+3),作過B、C分別作y軸,x軸的平行線交于點G,連接PG.
可得S△PBC=S△PCG+S△PBG-S△BCG=12×33×(-33m2+83m+23)+12×3•(33-m)-12×33×3=-32(m-7362+1218.由此可得△PBC面積最大時的點P的坐標,如圖2中,作ME⊥CG于M.由△CEM∽△BOC,OC:OB:BC=1:3:10,推出EM:CE:CM=1:3:10,推出EM=1010CM,所以PM+1010CM=PM+ME,所以根據(jù)垂線段最短可知,當PE⊥CG時,PM+ME最短,由此即可解決問題.
(3)分三種情形討論①如圖3中,當DH=HF,HQ平分∠DHF時,以點F、H、D、Q為頂點的四邊形是軸對稱圖形,且過點Q的對角線所在的直線 是對稱軸.②如圖4中,當DH=HF,HQ平分∠DHF時,以點F、H、D、Q為頂點的四邊形是軸對稱圖形,且過點Q的對角線所在的直線 是對稱軸.③如圖5中,當DH=DF,DQ平分∠HDF時,以點F、H、D、Q為頂點的四邊形是軸對稱圖形,且過點Q的對角線所在的直線 是對稱軸.分別列出方程求解即可.

解答 解:(1)結論:△ABC是直角三角形.理由如下,
對于拋物線 y=33x2-83x-3,令y=0得 33x2-83x-3=0,解得x=-33或33;令x=0得y=-3,
∴A(-33,0),C(0,-3),B(33,0),
∴OA=33,OC=3,OB=33,
AOOC=OCOB=13,∵∠AOC=∠BOC,
∴△AOC∽△COB,
∴∠ACO=∠OBC,
∵∠OBC+∠OCB=90°,
∴∠ACO+∠BCO=90°,
∴∠ACB=90°.
(也可以求出AC、BC、AB利用勾股定理的逆定理證明).

(2)如圖1中,設第四象限拋物線上一點N(m,33m2-83m-3),點N關于x軸的對稱點P(m,-33m2+83m+3),作過B、C分別作y軸,x軸的平行線交于點G,連接PG.

∵G(33,-3),
∴S△PBC=S△PCG+S△PBG-S△BCG=12×33×(-33m2+83m+23)+12×3•(33-m)-12×33×3=-32(m-7362+1218
∵-32<0,
∴當m=736時,△PBC的面積最大,
此時P(7361134),
如圖2中,作ME⊥CG于M.

∵CG∥OB,
∴∠OBC=∠ECM,∵∠BOC=∠CEM,
∴△CEM∽△BOC,
∵OC:OB:BC=1:3:10,
∴EM:CE:CM=1:3:10,
∴EM=1010CM,
∴PM+1010CM=PM+ME,
∴根據(jù)垂線段最短可知,當PE⊥CG時,PM+ME最短,
∴PM+1010MC的最小值為1134+3=1534

(3)存在.理由如下,
①如圖3中,當DH=HF,HQ平分∠DHF時,以點F、H、D、Q為頂點的四邊形是軸對稱圖形,且過點Q的對角線所在的直線 是對稱軸.

作CG⊥HK于G,PH∥x軸,EP⊥PH于P.
∵FH∥CK,K(433,-2593),
易知CG:GK:CK=3:4:5,
由△EPH∽△KGC,得PH:PE:EH=3:4:5,設E((n,33n2-83n-3),則HE=53(n-433),PE=43(n-433),
∵DH=HF,
3+[-33n2+83n+3-43(n-433)]=53(n-433)+533,
解得n=3+471634716(舍棄).
②如圖4中,當DH=HF,HQ平分∠DHF時,以點F、H、D、Q為頂點的四邊形是軸對稱圖形,且過點Q的對角線所在的直線 是對稱軸.

同法可得[33n2-83n-3+43(n-433)]-3=53(n-433)+533,
解得n=332+5916332-5916(舍棄).
③如圖5中,當DH=DF,DQ平分∠HDF時,以點F、H、D、Q為頂點的四邊形是軸對稱圖形,且過點Q的對角線所在的直線 是對稱軸.

設DQ交HF于M.由△DHM∽△CKG,可知HM:DH=4:5,
12[53(n-433)+533]:[33n2-83n-3+43(n-433)-3]=4:5,
解得n=19316+3345948或=19316-3345948(舍棄),
綜上所,滿足條件的點E的橫坐標為3+4716332+591619316+3345948

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、相似三角形的判定和性質、勾股定理、垂線段最短等知識,解題的關鍵是靈活運用所學知識,學會構建二次函數(shù)解決最值問題,學會利用垂線段最短解決最值問題,學會用分類討論的思想思考問題,屬于中考壓軸題.

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