Question

已知拋物線y=-x²+bx+c經過點A（0，4），且拋物線的對稱軸為直線x=2。

（1）求該拋物線的解析式；

（2）若該拋物線的頂點為B，在拋物線上是否存在點C，使得A、B、O、C四點構成的四邊形為梯形？若存在，請求出點C的坐標；若不存在，請說明理由。

（3）試問在拋物線上是否存在著點P，使得以3為半徑的⊙P既與x軸相切，又與對稱軸相交？若存在，請求出點P的坐標，并求出對稱軸被⊙P所截得的弦EF的長度；若不存在，請說明理由。

Answer 1

（1）由題意得，∴b=4、c=4  ∴y=-x2+4x+4

（2）y=-(x-2)2+8,B(2,8),

①AB∥OC時，直線AB:y=2x+4,則CO為y=2x

解得，

∴

②AC∥OB時，直線OB:y=4x,則AC為y=4x+4

解得，

C(0,4)與點A重合，舍去。

（3）①當點P在x軸上方時，y=-x2+4x+4=3，解得x1=2+, x2=2-,P1(2+,3), P2(2-,3)此時P到對稱軸直線x=2的距離為＜3，即⊙P與對稱軸相交。

對稱軸被⊙P所截得的弦EF的長度為4。       

②當點P在x軸下方時，y=-x2+4x+4=-3，解得x1=2+, x2=2-,

P3(2+,-3), P4(2-,-3)

此時P到對稱軸直線x=2的距離為＞3，即⊙P與對稱軸不相交。