Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知點A的坐標是（4，0），且OA=OC=4OB，動點P在過A，B，C三點的拋物線上．

（1）求拋物線的表達式；

（2）在拋物線上是否存在點P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的表達式是y=-x2+3x+4；（2）存在，點P的坐標為（-2，-6）或（2，6）．

【解析】

試題分析：（1）先由已知條件求出B、C兩點的坐標，再設拋物線的表達式是y=ax2+bx+c，將A，B，C三點的坐標代入，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的表達式；

（2）由（1）中所求解析式可設點P的坐標為（m，-m2+3m+4）．當△ACP是以AC為直角邊的直角三角形時，可分兩種情況進行討論：①以點A為直角頂點；②以點C為直角頂點；利用勾股定理分別列出關于m的方程，解方程即可．

試題解析：（1）∵點A的坐標是（4，0），

∴OA=4，

∵OA=OC=4OB，

∴OC=OA=4，OB=OA=1，

∴點C的坐標是（0，4），點B的坐標是（-1，0）．

設拋物線的表達式是y=ax2+bx+c，由題意得

，解得，

∴拋物線的表達式是y=-x2+3x+4；

（2）存在．

設點P的坐標為（m，-m2+3m+4）．

∵A（4，0），C（0，4），

∴AC2=42+42=32，AP2=（m-4）2+（-m2+3m+4）2，CP2=m2+（-m2+3m）2．

當△ACP是以AC為直角邊的直角三角形時，可分兩種情況：

①如圖1，如果點A為直角頂點，那么AC2+AP2=CP2，

即32+（m-4）2+（-m2+3m+4）2=m2+（-m2+3m）2，

整理得m2-2m-8=0，

解得m1=-2，m2=4（不合題意舍去），

則點P的坐標為（-2，-6）；

②如圖2，如果點C為直角頂點，那么AC2+CP2=AP2，

即32+m2+（-m2+3m）2=+（m-4）2+（-m2+3m+4）2，

整理得m2-2m=0，

解得m1=2，m2=0（不合題意舍去），

則點P的坐標為（2，6）；

綜上所述，所有符合條件的點P的坐標為（-2，-6）或（2，6）．