Question

【題目】如圖，直線AB的解析式為y=2x+4，交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，以A為頂點(diǎn)的拋物線交直線AB于點(diǎn)D，交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)C（0，﹣4）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）將拋物線頂點(diǎn)沿著直線AB平移，此時頂點(diǎn)記為E，與y軸的交點(diǎn)記為F，
①求當(dāng)△BEF與△BAO相似時，E點(diǎn)坐標(biāo)；
②記平移后拋物線與AB另一個交點(diǎn)為G，則S△EFG與S△ACD是否存在8倍的關(guān)系？若有請直接寫出F點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：直線AB的解析式為y=2x+4，

令x=0，得y=4；令y=0，得x=﹣2．

∴A（﹣2，0）、B（0，4）．

∵拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)A（﹣2，0），

∴設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+2）2，

點(diǎn)C（0，﹣4）在拋物線上，代入上式得：﹣4=4a，解得a=﹣1，

∴拋物線的解析式為y=﹣（x+2）2

（2）

解：平移過程中，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，2m+4），

則平移后拋物線的解析式為：y=﹣（x﹣m）2+2m+4，

∴F（0，﹣m2+2m+4）．

①∵點(diǎn)E為頂點(diǎn)，∴∠BEF≥90°，

∴若△BEF與△BAO相似，只能是點(diǎn)E作為直角頂點(diǎn)，

∴△BAO∽△BFE，

∴ ，即 ，可得：BE=2EF．

如答圖2﹣1，過點(diǎn)E作EH⊥y軸于點(diǎn)H，則點(diǎn)H坐標(biāo)為：H（0，2m+4）．

∵B（0，4），H（0，2m+4），F(xiàn)（0，﹣m2+2m+4），

∴BH=|2m|，F(xiàn)H=|﹣m2|．

在Rt△BEF中，由射影定理得：BE2=BHBF，EF2=FHBF，

又∵BE=2EF，∴BH=4FH，

即：4|﹣m2|=|2m|．

若﹣4m2=2m，解得m=﹣ 或m=0（與點(diǎn)B重合，舍去）；

若﹣4m2=﹣2m，解得m= 或m=0（與點(diǎn)B重合，舍去），此時點(diǎn)E位于第一象限，∠BEF為銳角，故此情形不成立．

∴m=﹣ ，

∴E（﹣ ，3）．

②假設(shè)存在．

聯(lián)立拋物線：y=﹣（x+2）2與直線AB：y=2x+4，可求得：D（﹣4，﹣4），

∴S△ACD= ×4×4=8．

∵S△EFG與S△ACD存在8倍的關(guān)系，

∴S△EFG=64或S△EFG=1．

聯(lián)立平移拋物線：y=﹣（x﹣m）2+2m+4與直線AB：y=2x+4，可求得：G（m﹣2，2m）．

∴點(diǎn)E與點(diǎn)G橫坐標(biāo)相差2，即：|xG|﹣|xE|=2．

當(dāng)頂點(diǎn)E在y軸左側(cè)時，如答圖2﹣2，

S△EFG=S△BFG﹣S△BEF= BF|xG|﹣ BF|xE|= BF（|xG|﹣|xE|）=BF．

∵B（0，4），F(xiàn)（0，﹣m2+2m+4），∴BF=|﹣m2+2m|．

∴|﹣m2+2m|=64或|﹣m2+2m|=1，

∴﹣m2+2m可取值為：64、﹣64、1、﹣1．

當(dāng)取值為64時，一元二次方程﹣m2+2m=64無解，故﹣m2+2m≠64．

∴﹣m2+2m可取值為：﹣64、1、﹣1．

∵F（0，﹣m2+2m+4），

∴F坐標(biāo)為：（0，﹣60）、（0，3）、（0，5）．

同理，當(dāng)頂點(diǎn)E在y軸右側(cè)時，點(diǎn)F為（0，5）；

綜上所述，S△EFG與S△ACD存在8倍的關(guān)系，點(diǎn)F坐標(biāo)為（0，﹣60）、（0，3）、（0，5）．

【解析】（1）求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用頂點(diǎn)式求出拋物線的解析式；（2）①首先確定點(diǎn)E為Rt△BEF的直角頂點(diǎn)，相似關(guān)系為：△BAO∽△BFE；如答圖2﹣1，作輔助線，利用相似關(guān)系得到關(guān)系式：BH=4FH，利用此關(guān)系式求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；②首先求出△ACD的面積：S△ACD=8；若S△EFG與S△ACD存在8倍的關(guān)系，則S△EFG=64或S△EFG=1；如答圖2﹣2所示，求出S△EFG的表達(dá)式，進(jìn)而求出點(diǎn)F的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道增減性：當(dāng)a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．