Question

14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=-x²+mx+n與x軸交于點(diǎn)A，B（A在B的左側(cè)）．
（1）拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-3，AB=4．求拋物線的表達(dá)式；
（2）平移（1）中的拋物線，使平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)O，且與x正半軸交于點(diǎn)C，記平移后的拋物線頂點(diǎn)為P，若△OCP是等腰直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)m=4時(shí)，拋物線上有兩點(diǎn)M（x₁，y₁）和N（x₂，y₂），若x₁＜2，x₂＞2，x₁+x₂＞4，試判斷y₁與y₂的大小，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)拋物線和x軸的交點(diǎn)及線段的長(zhǎng)，求出拋物線的解析式；
（2）根據(jù)平移后拋物線的特點(diǎn)設(shè)出拋物線的解析式，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出拋物線解析式；
（3）根據(jù)拋物線的解析式判斷出點(diǎn)M，N的大概位置，再關(guān)鍵點(diǎn)M，N的橫坐標(biāo)的范圍即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）拋物線 y=-x²+mx+n的對(duì)稱軸為直線x=-3，AB=4．
∴點(diǎn) A（-5，0），點(diǎn)B（-1，0）．
∴拋物線的表達(dá)式為y=-（x+5）（ x+1）
∴y=-x²-6x-5．
（2）如圖1，
依題意，設(shè)平移后的拋物線表達(dá)式為：y=-x²+bx．
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線$x=\frac{2}$，拋物線與x正半軸交于點(diǎn)C（b，0）．
∴b＞0．
記平移后的拋物線頂點(diǎn)為P，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)（$\frac{2}$，-$\frac{^{2}}{4}$+$\frac{^{2}}{2}$），
∵△OCP是等腰直角三角形，
∴$\frac{2}$=-$\frac{^{2}}{4}+\frac{^{2}}{2}$
∴b=2．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)（1，1）．
（3）如圖2，
當(dāng)m=4時(shí)，拋物線表達(dá)式為：y=-x²+4x+n．
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線 x=2．
∵點(diǎn)M（x₁，y₁）和N（x₂，y₂）在拋物線上，
且x₁＜2，x₂＞2，
∴點(diǎn)M在直線x=2的左側(cè)，點(diǎn)N在直線x=2的右側(cè)．
∵x₁+x₂＞4，
∴2-x₁＜x₂-2，
∴點(diǎn)P到直線x=2的距離比
點(diǎn)M到直線x=2的距離比點(diǎn)N到直線x=2的距離近，
∴y₁＞y₂．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了拋物線的性質(zhì)，待定系數(shù)法，平移的性質(zhì)，頂點(diǎn)坐標(biāo)的確定，函數(shù)值大小的確定，解本題的關(guān)鍵是熟練掌握拋物線的性質(zhì)，是一道中等難度的中考�？碱}．