【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,AE⊥BD于E.
(1)若BC=BD,,AD=15,求△ABD的周長.
(2)若∠DBC=45°,對角線AC、BD交于點O,F為AE上一點,且AF=2EO,求證:CF=AB.
【答案】(1);(2)詳見解析
【解析】
(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可推出AD=BD=15,然后設(shè)BE=x,則AB=x,DE=BD﹣BE=15﹣x,利用勾股定理建立方程求出x,即可求周長;
(2)延長AE與BC交于點M,過點O作OG∥AE,分別交BC、CF于點G、H,連接EH,BF,并延長BF,與AD交于點N,連接DF,DG,首先通過平行四邊形的性質(zhì)推導OH是△ACF的中位線,再判定四邊形BGDN是正方形,最后證明△DNF≌△DGC即可得出結(jié)論.
(1)解:∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AD=BC,
∵BC=BD,
∴AD=BD=15,
∵,
設(shè)BE=x,則AB=x,DE=BD﹣BE=15﹣x,
∴AE===3x,AE2+DE2=AD2,
即:,
解得:x=3,
∴AB=3,
∴△ABD的周長=AD+BD+AB=15+15+3=30+3;
(2)證明:延長AE與BC交于點M,過點O作OG∥AE,分別交BC、CF于點G、H,連接EH,BF,并延長BF,與AD交于點N,連接DF,DG,如圖所示:
∵AE⊥BD,
∴OG⊥BD,
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴OB=OD,OA=OC,AB=CD,
∴BG=DG,
∵∠DBC=45°,
∴∠BDG=45°,
∴∠BGD=90°,
∵OG∥AM,OA=OC,
∴OH是△ACF的中位線,
∴OH=AF=OE,HF=HC,
∴∠OEH=∠OHE=45°=∠OBC,
∴EH∥BC,
∴EF=ME,
∵BE⊥MF,
∴BF=BM,
∴∠MBE=∠EBF=45°,
∴∠DNB=∠NBG=90°,
∴四邊形BGDN是正方形,
∴DG=DN=BN=BG,
∴MG=FN,
∵AM∥OG,OA=OC,
∴MG=CG,
∴CG=FN,
在△DNF和△DGC中,
,
∴△DNF≌△DGC(SAS),
∴DF=DC,∠NDF=∠GDC,
∴∠FDC=∠NDG=90°,
∴CF=CD,
∴CF=AB.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知,正方形ABCD的邊長為4,點E是對角線BD延長線上一點,AE=BD.將△ABE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α度(0°<α<360°)得到△AB′E′,點B、E的對應(yīng)點分別為B′、E′.
(1)如圖1,當α=30°時,求證:B′C=DE;
(2)連接B′E、DE′,當B′E=DE′時,請用圖2求α的值;
(3)如圖3,點P為AB的中點,點Q為線段B′E′上任意一點,試探究,在此旋轉(zhuǎn)過程中,線段PQ長度的取值范圍為 .
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為推進“全國億萬學生陽光體育運動”的實施,組織廣大同學開展健康向上的第二課堂活動.我市某中學準備組建球類社團(足球、籃球、羽毛球、乒乓球)、舞蹈社團、健美操社團、武術(shù)社團,為了解在校學生對這4個社團活動的喜愛情況,該校隨機抽取部分初中生進行了“你最喜歡哪個社團”調(diào)查,依據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)繪制成以下不完整的統(tǒng)計表,請根據(jù)圖表中的信息解答下列問題:
(1)求樣本容量及表格中、的值;
(2)請補全統(tǒng)計圖;
(3)被調(diào)查的60個喜歡球類同學中有3人最喜歡足球,若該校有3000名學生,請估計該校最喜歡足球的人數(shù).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】全面二孩政策于2016年1月1日正式實施,黔南州某中學對八年級部分學生進行了隨機問卷調(diào)查,其中一個問題“你爸媽如果給你添一個弟弟(或妹妹),你的態(tài)度是什么?”共有如下四個選項(要求僅選擇一個選項):
A.非常愿意 B.愿意 C.不愿意 D.無所謂
如圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請結(jié)合圖中信息解答以下問題:
(1)試問本次問卷調(diào)查一共調(diào)查了多少名學生?并補全條形統(tǒng)計圖;
(2)若該年級共有450名學生,請你估計全年級可能有多少名學生支持(即態(tài)度為“非常愿意”和“愿意”)爸媽給自己添一個弟弟(或妹妹)?
(3)在年級活動課上,老師決定從本次調(diào)查回答“不愿意”的同學中隨機選取2名同學來談?wù)勊麄兊南敕,而本次調(diào)查回答“不愿意”的這些同學中只有一名男同學,請用畫樹狀圖或列表的方法求選取到兩名同學中剛好有這位男同學的概率.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】國防教育和素質(zhì)拓展期間,某天小明和小亮分別從校園某條路的A,B兩端同時相向出發(fā),當小明和小亮第一次相遇時,小明覺得自己的速度太慢便決定提速至原速的倍,當他到達B端后原地休息,小亮勻速到達A端后,立即按照原速返回B端(忽略掉頭時間).兩人相距的路程y(米)與小亮出發(fā)時間t(秒)之間的關(guān)系如圖所示,當小明到達B端后,經(jīng)過_____秒,小亮回到B端.
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【題目】成都市某企業(yè)積極響應(yīng)政府“創(chuàng)新發(fā)展”的號召,研發(fā)了一種新產(chǎn)品.已知研發(fā)、生產(chǎn)這種新產(chǎn)品的成本為30元/件,經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),該產(chǎn)品的年銷售量y(萬件)與銷售單價x(元)之間的函數(shù)關(guān)系如下圖:
(1)求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當該產(chǎn)品的售價為多少時,該企業(yè)銷售該產(chǎn)品獲得的年利潤最大?最大年利潤是多少?(注:年利潤=年銷售量×(銷售單價﹣成本單價))
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在中,是直徑,點是上一點,點是弧的中點,于點,過點的切線交的延長線于點,連接,分別交,于點.連接,關(guān)于下列結(jié)論:① ;②;③點是的外心,其中正確結(jié)論是( )
A.①②B.①③C.②③D.①②③
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,E為BC邊上一點,且AB=AE.
(1)求證:AC=ED;
(2)若AE平分∠DAB,∠EAC=25°,求∠AED的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】定義:若一個四邊形能被其中一條對角線分割成兩個相似三角形,則稱這個四邊形為“友好四邊形”.
(1)如圖1,在的正方形網(wǎng)格中,有一個網(wǎng)格和兩個網(wǎng)格四邊形與,其中是被分割成的“友好四邊形”的是 ;
(2)如圖2,將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到,點落在邊,過點作交的延長線于點,求證:四邊形是“友好四邊形”;
(3)如圖3,在中,,,的面積為,點是的平分線上一點,連接,.若四邊形是被分割成的“友好四邊形”,求的長.
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