(2004•宜昌)已知AB=2,∠ABC=60°,D是線段AB上的動點,過D作DE⊥BC,垂足為E,四邊形DEFG是正方形,點F在射線BC上,連接AG并延長交BC于點H.
(1)求DE的取值范圍;
(2)當(dāng)DE在什么范圍取值時,△ABH為鈍角三角形;
(3)過B、A、G三點的圓與BC相交于點K,過K作這個圓的切線KL與DG的延長線相交于點L.若GL=1,這時點K與點F重合嗎?請說明理由.

【答案】分析:(1)當(dāng)D與B重合時,DE最小為0,當(dāng)D與A重合時,DE最大,可根據(jù)AB和∠B的度數(shù)用正弦函數(shù)求出DE的最大值,即可得出DE的取值范圍;
(2)要分兩種情況進(jìn)行討論:
①當(dāng)∠BAH是鈍角時,此時DE的最小值就應(yīng)該是∠BAH=90°時的值,DE的最大值就是(1)中求得的DE的最大值,當(dāng)∠BAH=90°時,可用DE在直角三角形BDE和ADG中分別表示出AD,BD,然后根據(jù)AB的值求出DE的值,也就求出了∠BAH是鈍角時,DE的取值范圍;
②當(dāng)∠AHB為鈍角時,此時DE的最大值就應(yīng)該是H與F重合時DE的值,參照上面的方法求出DE的值,也就求出了∠AHB是鈍角時DE的取值范圍,
然后結(jié)合(1)中DE的取值范圍就能得出三角形ABH是鈍角三角形時DE的范圍;
(3)假設(shè)他們重合,此時四邊形AGFB就是圓的內(nèi)接四邊形,那么外角∠GFC=∠=90°,這種情況和(2)中①求DE最小值時的情況完全一樣,我們已經(jīng)得出了此時DE,BE的值,那么就求出了BF,GF,DG的長,然后我們通過構(gòu)建相似三角形來判斷GL是否等于1,連接BG后我們發(fā)現(xiàn)弦切角∠LKG=∠GBK,因此三角形GKL與BFG相似,那么可得出BF、GF、GL的比例關(guān)系,根據(jù)求出的BF、GF的值即可求出GL的值,看看是否與已知的條件相符即可.
解答:解:(1)當(dāng)點D與點A重合時,
在Rt△ABE中,∠AEB=90°,∠ABE=60°,AB=2
∴AE=DE=AB•sin∠ABE=2•sin60°=2=3,
當(dāng)點D與B重合時,DE=0,
∴DE的取值范圍是:0<DE<3;

(2)設(shè)BE=x,Rt△BDE中,
∵∠ABE=60°,則BD=2x,DE=x,
分兩種情況:
①若∠BAH=90°,如圖1
在Rt△ADG中,∠ADG=∠ABE=60°,DG=DE=x
∴AD=,又AB=AD+BD=2,
∴2x+x=2,x=,
∴DE=x=
即當(dāng)<DE<3時,△ABH為鈍角三角形.
②若∠AHB=90°,如圖2,此時點F與點H重合.
在Rt△ADG中,∠ADG=∠ABE=60°,DG=DE=x,
∴AD=2x,又AB=AD+BD=2,
∴2x+2x=2
∴x=
∴DE==,
則當(dāng)0<DE<時,△ABH為鈍角三角形.
綜上,當(dāng)<DE<3或0<DE<時,△ABH為鈍角三角形;

(3)當(dāng)GL=1時,點K與點F不重合,理由如下:
解:當(dāng)點K與點F重合時,如圖3,
∵四邊形ABKG內(nèi)接于圓,
∴∠A+∠BKG=180°,
∵∠BKG=90°,
∴∠A=90°,
∴此時即為(2)中①的情形,仍然設(shè)BE=x,則DE=GK=EK=,
∴BK=BE+EK=x+=(+1)x,
在(2)①中已求得:x=
連接BG,∵KL切圓于點K,
∴∠1=∠2,
又∵∠KGL=∠BKG=90°,
∴△GKL∽△KBG,
=,
∴GL===x=1,
∴當(dāng)GL=1時,點K與點F不重合.
點評:本題主要考查了切線的性質(zhì),正方形的性質(zhì),解直角三角形以及相似三角形的判斷和性質(zhì)等知識點,由于涉及的知識點較多,此題比較難.
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