Question

盼盼同學(xué)在學(xué)習(xí)正多邊形時(shí)，發(fā)現(xiàn)了以下一組有趣的結(jié)論：

①若P是圓內(nèi)接正三角形ABC的外接圓的上一點(diǎn)，則PB+PC=PA；
②若P是圓內(nèi)接正四邊形ABCD的外接圓的上一點(diǎn)，則；
③若P是圓內(nèi)接正五邊形ABCDE的外接圓的上一點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)PB+PE與PA有怎樣的數(shù)量關(guān)系，寫(xiě)出結(jié)論，并加以證明；
④若P是圓內(nèi)接正n邊形A₁A₂A₃…A_n的外接圓的上一點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)PA₂+PA_n與PA₁又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，寫(xiě)出結(jié)論，不要求證明．

Answer 1

解：
③PB+PE與PA滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系是：PB+PE=2PA•cos36°；
理由如下：作AM⊥PB于M，AN⊥PE于N，
∵∠APM=∠APN
∴Rt△AMP≌Rt△ANP，
∴AM=AN，PM=PE；
∵AB=AE，
∴Rt△AMB≌Rt△ANE，
∴MB=NE∴PB+PE=（PM-MB）+（PN+NE）=2PN；
∵，且ABCDE為正五邊形，
∴，
∴∠APE=36°；
在Rt△ANP中，，
∴PN=PA•cos36°，
∴PB+PE=2PA•cos36°．

④若P是圓內(nèi)接正n邊形A₁A₂A₃…A_n的外接圓的上一點(diǎn)時(shí)，PA₂+PA_n與PA₁滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系是：．

分析：PB+PC=PA，可以在PA上截取一條線(xiàn)段等于PB，然后證明剩下的部分等于PC即可，其它三問(wèn)的解決思路相同．
點(diǎn)評(píng)：正多邊形的計(jì)算一般是通過(guò)中心作邊的垂線(xiàn)，連接半徑，把正多邊形中的半徑，邊長(zhǎng)，邊心距，中心角之間的計(jì)算轉(zhuǎn)化為解直角三角形．