Question

矩形ABCD中，點P為AC上一點，PB⊥PF交DC的延長線于F點，交BC于E點，且，求證：PA=CD．

Answer 1

證明：∵四邊形ABCD是矩形，PB⊥PF，
∴∠ABC=∠BCF=∠BPF=90°，AB=CD，
∵∠PEB=∠CEF，
∴△PBE∽△CFE，
∴∠PBE=∠CFE，，
∵∠PEC=∠BEF，
∴△PEC∽△BEF，
∴∠CPF=∠CBF，
∵，
∴△PBE∽△CBF，
∴∠PBC=∠CBF，
∴∠PBC=∠CPF，
∵∠ABP+∠PBC=90°，∠APB+∠CPF=90°，
∴∠ABP=∠APB，
∴PA=AB，
∴PA=CD．
分析：由矩形ABCD中，PB⊥PF，易證得△PBE∽△CFE，繼而可得△PEC∽△BEF，即可證得∠CPF=∠CBF，又由，證得△PBE∽△CBF，可得∠PBC=∠CBF，即可得∠PBC=∠CPF，繼而證得∠ABP=∠APB，即可得PA=AB，則可證得結論．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、矩形的性質以及等腰三角形的判定．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．