Question

如圖，已知P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PA=1，PB=2，PC=3，以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABP沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，這時(shí)P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到G點(diǎn)，連接BG、CG、PG。

（1）△ABP以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了???????????? 度；

（2）求出PG的長(zhǎng)度；(3)以點(diǎn)G為圓心，r為半徑作⊙G：

①當(dāng)半徑r滿足??????????????????????????? 時(shí)，⊙G與邊PC只有一個(gè)交點(diǎn);

②當(dāng)半徑r滿足??????????????????????????? 時(shí)，⊙G與邊PC有兩個(gè)交點(diǎn);

③當(dāng)半徑r滿足??????? 時(shí)，⊙G與邊PC沒有交點(diǎn)。

 

Answer 1

【答案】

（1）90；（2）；（3），＜r＜1；r＞.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意知∠ABC=90°，將△ABP沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合時(shí)，旋轉(zhuǎn)角為∠ABC=90°；

（2）連接PG，證明△BPG為等腰直角三角形，BP=BG=2，由勾股定理可求PG；

（3）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知CG=AP=1，已知PC=3，由（2）可知PG，利用勾股定理的逆定理，判斷△PGC為直角三角形．利用面積法求出點(diǎn)G到PC的距離，即可解答.

試題解析：（1）旋轉(zhuǎn)后的△BCG如圖所示，旋轉(zhuǎn)角為∠ABC=90°；

（2）連接PG，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知BP=BG，∠PBG=∠ABC=90°，

∴△BPG為等腰直角三角形，

又BP=BG=2，

∴PG= ；

（3）（3）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知CG=AP=1，已知PC=3，

由（2）可知PG=，

∵PG2+CG2=（）2+12=9，PC2=9，

∴PG2+CG2=PC2，

∴△PGC為直角三角形．

過G作GE⊥PC，垂足為E

∵

∴.

∴當(dāng)時(shí)，⊙G與邊PC只有一個(gè)交點(diǎn);當(dāng)＜r＜1時(shí)，⊙G與邊PC有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)r＞時(shí)，⊙G與邊PC沒 有交點(diǎn)。

考點(diǎn): 1.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；2.勾股定理；3.勾股定理的逆定理；4.正方形的性質(zhì).