Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，6），B（8，0）．點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿AO運(yùn)動；同時(shí)，點(diǎn)Q從O出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿OB運(yùn)動，當(dāng)Q點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動．

（1）求運(yùn)動時(shí)間t的取值范圍；
（2）整個(gè)運(yùn)動過程中，以點(diǎn)P、O、Q為頂點(diǎn)的三角形與Rt△AOB有幾次相似？請直接寫出相應(yīng)的t值．
（3）t為何值時(shí)，△POQ的面積最大？最大值是多少？

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，0），

∴OB=8，

∵點(diǎn)Q從O出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿OB運(yùn)動，當(dāng)Q點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動，

∴t≤4，

則運(yùn)動時(shí)間t的取值范圍為：0≤t≤4

（2）

解：由題意得，AP=t，OP=6﹣t，OQ=2t，

①當(dāng)Rt△POQ∽Rt△AOB時(shí)， = ，

即 = ，

解得，t= ，

②當(dāng)Rt△POQ∽Rt△BOA時(shí)， = ，

即 = ，

解得，t= ，

則當(dāng)t= 或 時(shí)，以點(diǎn)P、O、Q為頂點(diǎn)的三角形與Rt△AOB相似，即相似兩次

（3）

解：△POQ的面積= ×OP×OQ= ×2t×（6﹣t）=﹣t2+6t=﹣（t﹣3）2+9，

∴當(dāng)t=3時(shí)，△POQ的面積最大，最大值是9

【解析】（1）根據(jù)題意求出OB的長，得到運(yùn)動時(shí)間t的取值范圍；（2）分Rt△POQ∽Rt△AOB和Rt△POQ∽Rt△BOA兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可；（3）用t表示出△POQ的面積，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)的圖象的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握函數(shù)的圖像是由直角坐標(biāo)系中的一系列點(diǎn)組成；圖像上每一點(diǎn)坐標(biāo)（x，y）代表了函數(shù)的一對對應(yīng)值，他的橫坐標(biāo)x表示自變量的某個(gè)值，縱坐標(biāo)y表示與它對應(yīng)的函數(shù)值才能正確解答此題．